输入序列A=[18,17,19,6,11,21,23,15]。请给出序列求解A 中最长递增子序列的动态规划算法,并分析算法时间复杂度。

时间: 2023-09-23 16:06:05 浏览: 57
### 回答1: 最长递增子序列问题可以使用动态规划求解。定义dp[i]表示以A[i]结尾的最长递增子序列的长度,则有: dp[i] = max(dp[j])+1, 0<=j<i and A[j]<A[i] 其中,dp[j]表示以A[j]结尾的最长递增子序列长度。最终答案为所有dp[i]中的最大值。 根据上述状态转移方程,可以使用两重循环求解dp数组。时间复杂度为O(n^2)。 下面是Python代码实现: ```python def longest_increasing_subsequence(A): n = len(A) dp = [1] * n for i in range(1, n): for j in range(i): if A[j] < A[i]: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) return max(dp) A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15] print(longest_increasing_subsequence(A)) # 输出:4 ``` 在上述代码中,我们使用dp数组记录每个子问题的最优解,最后返回所有子问题中的最大值。时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n)。 ### 回答2: 动态规划算法可以用来解决最长递增子序列的问题。下面是一种基于动态规划算法的解题思路: 首先创建一个与序列A长度相同的数组dp,用来记录以每个元素结尾的最长递增子序列的长度。 初始化dp数组的所有元素为1,因为每个元素本身都构成一个长度为1的递增子序列。 针对每个元素A[i],从第一个元素A[0]开始遍历到A[i-1],若找到一个比A[i]小的元素A[j],则说明A[j]可以与A[i]组成一个递增子序列。 此时比较dp[j] + 1是否大于dp[i],若大于则更新dp[i]的值为dp[j] + 1。 遍历完整个序列A后,dp数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。 根据以上思路,可以得到如下实现: A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15] n = len(A) dp = [1] * n # 初始化dp数组 for i in range(1, n): for j in range(i): if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]: dp[i] = dp[j] + 1 result = max(dp) # 最长递增子序列的长度 print(result) 以上算法的时间复杂度为O(n^2),其中n为输入序列A的长度。因为需要两次循环遍历序列A,所以时间复杂度为二次方级别。 ### 回答3: 最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence,简称LIS)是指在一个序列中找到最长的子序列,使得子序列中所有的元素按照顺序递增。 动态规划算法解决LIS问题的基本思路是维护一个dp数组,dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。对于序列中的每个元素A[i],遍历其前面的所有元素A[j](0 ≤ j < i),如果A[j]小于A[i]且dp[j]+1大于dp[i],则更新dp[i]=dp[j]+1。最后在dp数组中找到最大值,即为最长递增子序列的长度。 对于输入序列A=[18,17,19,6,11,21,23,15],应用动态规划算法可得到dp数组为[1,1,2,1,2,3,4,2],最长递增子序列的长度为4。 算法的时间复杂度为O(n^2),其中n为序列的长度。外层循环遍历序列的每个元素,内层循环遍历每个元素之前的所有元素,因此总共需要进行n(n-1)/2次比较和更新操作。

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