给我展示一道线性代数中使用克莱姆法则求解的例题并详细解释这道题
时间: 2023-05-20 07:01:08 浏览: 180
好的,以下是一道线性代数中使用克莱姆法则求解的例题:
假设有如下线性方程组:
2x + 3y - z = 7
x - y + 2z = -1
3x + 2y - 4z = 4
我们可以将其写成矩阵形式:
| 2 3 -1 | | x | | 7 |
| 1 -1 2 | x | y | = |-1|
| 3 2 -4 | | z | | 4 |
使用克莱姆法则,我们可以通过求解系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式来求解该方程组。
首先,我们求解系数矩阵的行列式:
| 2 3 -1 |
| 1 -1 2 |
| 3 2 -4 |
通过对第一列展开,我们可以得到:
det(A) = 2 * (-1)^(1+1) * det(A11) - 1 * (-1)^(2+1) * det(A21) + 3 * (-1)^(3+1) * det(A31)
= 2 * (-1) * (-6) - 1 * (-1) * (-7) + 3 * (-1) * (-4)
= -12 + 7 - 12
= -17
其中,A11、A21、A31 分别表示将第一列去掉后得到的 2x2 子矩阵的行列式。
接下来,我们求解各个未知数对应的代数余子式:
A_x = | 7 3 -1 |
|-1 -1 2 |
| 4 2 -4 |
A_y = | 2 7 -1 |
| 1 -1 2 |
| 3 4 -4 |
A_z = | 2 3 7 |
| 1 -1 -1 |
| 3 2 4 |
其中,A_x 表示将系数矩阵中 x 列替换成方程组右侧的常数列后得到的 3x3 子矩阵的行列式,A_y 和 A_z 同理。
最后,我们可以通过以下公式求解各个未知数的值:
x = A_x / det(A)
y = A_y / det(A)
z = A_z / det(A)
将代数余子式代入公式中,我们可以得到:
x = (-23) / (-17) = 1.35
y = (-15) / (-17) = 0.88
z = (-11) / (-17) = 0.65
因此,该线性方程组的解为 x = 1.35,y = 0.88,z = 0.65。
希望以上解答能够帮助您理解线性代数中使用克莱姆法则求解的过程。
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