通过孔口的流量。 设容器壁上液体表面下深为h的位置P处，有一个孔口，它的面积为g，如 图1(a)所示，那么根据托里斯利(Torricelli)原理，液体在P处的水平流速，就用公式v=、2gh来表示，通过灌注液体的办法，可以使h保持不变，那么在孔口处流速为常数。于是单位时间内通过g流出的液体量(密度设为1)等于gv，其中v是孔口某点P处的平均速度，今设孔口是铅直于底且是xOy面上的域(D)(图 1(6)所示)。如何求单位时间内通过孔口D 的总流量Q？

根据流量的定义，单位时间内通过孔口D的总流量Q等于孔口D上每点的流速v乘以对应的面积g再对整个孔口D进行积分，即：

Q = ∬𝑫𝑣

其中，𝑣表示孔口D上每点的流速。

由题可知，孔口D是铅直于底且是xOy面上的域，因此可以用二重积分来表示上式中的积分：

Q = ∬𝑫𝑣 = ∬𝑫(2gh)dxdy

根据题目中给出的托里斯利原理，可以将每点的流速表示为v=√(2gh)，代入上式，得到：

Q = ∬𝑫𝑣 = ∬𝑫(2gh)dxdy = 2g∬𝑫hdxdy = 2gh∬𝑫dxdy = 2ghS

其中，S为孔口D的面积。

因此，单位时间内通过孔口D的总流量Q等于2ghS，其中h为孔口下方液面的深度，S为孔口的面积。

相关问题

设容器壁上液体表面下深为h的位置P处，有一个孔口，它的面积为g，那么根据托里斯利(Tomricelli)原理，液体在P处的水平流速v就用公式v=根号2gh来表示，通过灌注液体的办法，可以使h保持不变，那么在孔口处流速为常数。于是单位时间内通过g流出的液体量(密度设为1)等于gv，其中v是孔口某点P处的平均速度，今设孔口是铅直于底且是xOy面上的域(D)。如何求单位时间内通过孔口D的总流量Q？利用无穷级数给出答案

根据题意，单位时间内通过孔口D的总流量Q可以表示为：

$Q = \iint_D gv\cos\theta dA$

其中，$\theta$表示液体相对于孔口的入射角，由于孔口是垂直于底的，因此$\cos\theta=\cos90^\circ=0$，所以可以简化为：

$Q = \iint_D gv dA$

由于液体在孔口处的水平流速v是常数，因此可以将积分式中的v提出来，得到：

$Q = g\iint_D vdA$

接下来，我们可以利用无穷级数的方法对上式进行求解。将孔口D分成许多小面积$dA_i$，每个小面积对应的速度为$v_i$，则总流量可以表示为：

$Q = g\sum_i v_idA_i$

由于孔口处的流速为常数，因此可以将$v_i$视为常数，上式可以进一步简化为：

$Q = g\sum_i v_i\Delta A_i$

其中，$\Delta A_i$表示小面积$dA_i$的面积，可以视为无穷小量$dA$，则上式可以表示为：

$Q = g\int_D v dA$

综上所述，单位时间内通过孔口D的总流量Q可以表示为：

$Q = g\int_D v dA$

这就是所求的答案。

设容器壁上液体表面下深为h的位置P处，有一个孔口，它的面积为g，如图1(a)所示，那么根据托里斯利(Tomricelli)原理，液体在P处的水平流速v就用公式v=、2gh来表示，通过灌注液体的办法，可以使h保持不变，那么在孔口处流速为常数。于是单位时间内通过g流出的液体量(密度设为1)等于gv，其中v是孔口某点P处的平均速度，今设孔口是铅直于底且是xOy面上的域(D)图1(b)所示)。如何求单位时间内通过孔口D的总流量Q？，需要通过积分转成无穷级数给出答案

根据题意，单位时间内通过孔口D的总流量Q等于孔口某点P处的平均速度v乘以孔口面积g，即：

$$
Q = gv
$$

要求出平均速度v，可以利用流量守恒定律，即单位时间内通过任何横截面的流量相等。因此，我们可以在液面上方选取一段长度为L的横截面CD，如图2所示：

<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210723141102943.png" width="300" />

假设时间为t，液体在横截面CD上的体积为V(t)，则有：

$$
V(t) = gLh
$$

根据流量守恒定律，单位时间内通过横截面CD的流量等于单位时间内通过孔口D的流量，即：

$$
\frac{dV}{dt} = gv
$$

对上式两边求导，得到：

$$
\frac{d^2V}{dt^2} = g\frac{dv}{dt}
$$

根据托里斯利原理，有：

$$
v = \sqrt{2gh}
$$

将上式代入上式，得到二阶常系数齐次线性微分方程：

$$
\frac{d^2V}{dt^2} - kV = 0
$$

其中，$k = g\sqrt{2h}/L$。

根据微分方程的一般理论，可得通解：

$$
V(t) = c_1\cos(\sqrt{k}t) + c_2\sin(\sqrt{k}t)
$$

由于在$t=0$时，$V(0)=0$，因此$c_1=0$。又因为在$t=0$时，液面上方的液体体积为零，因此$c_2=-gLh/\sqrt{k}$。将$c_1$和$c_2$代入通解，得到：

$$
V(t) = \frac{gLh}{\sqrt{k}}\sin(\sqrt{k}t)
$$

根据周期函数的性质，可知在一个周期内，平均速度等于零。因此，我们需要求解出一个周期内的总流量。一个周期的时间为$T=2\pi/\sqrt{k}$，因此一个周期内的总流量为：

$$
\begin{aligned}
Q &= \int_0^T gv(t)dt \\
&= \int_0^T g\sqrt{\frac{2h}{L}}\sin(\sqrt{\frac{g\sqrt{2h}}{L}}t)dt \\
&= \frac{g\sqrt{2h}L}{\pi}\left[1-\cos(\sqrt{\frac{g\sqrt{2h}}{L}}t)\right]_0^{\pi} \\
&= \frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi}
\end{aligned}
$$

因此，单位时间内通过孔口D的总流量为$Q'=Q/T=\frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}$，即：

$$
Q' = \frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}
$$