设R是非空集合A 上的一个传递关系和自反关系,S是A上的一个关系,使得对Ɐa,b∈A,<a,b>∈S当且仅当<a,b>∈R且<b,a>∈R,试证明S是A上的一个等价关系.
时间: 2023-06-27 13:01:12 浏览: 100
要证明S是A上的一个等价关系,需要证明它满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任意的a∈A,<a,a>∈S。
由于R是A上的自反关系,因此对于任意的a∈A,<a,a>∈R。由于<b,a>也要在R中,因此<a,a>∈S。
2. 对称性:对于任意的a,b∈A,如果<a,b>∈S,则<b,a>∈S。
由于<a,b>∈S,所以<a,b>∈R且<b,a>∈R。因此<b,a>∈S。
3. 传递性:对于任意的a,b,c∈A,如果<a,b>∈S且<b,c>∈S,则<a,c>∈S。
由于<a,b>∈S,所以<a,b>∈R且<b,a>∈R。同理,<b,c>∈R且<c,b>∈R。因为R是传递关系,所以<a,c>∈R。同理,<c,a>∈R。因此<a,c>∈S。
综上所述,S是A上的一个等价关系。
相关问题
设A是实数集R的一个子集,它包含着某一个非退化的
区间I=(a,b),即a<b。证明:A中必有一个最小的元素。即存在x0∈A,使得x0≤x,对于任意的x∈A成立。
证明:由于I是非退化的区间,所以I中至少有一个点x1,使得a<x1<b。考虑集合B={x∈A | x≤x1},容易证明B非空,因为a∈B。
接下来证明B有一个最大元素x0。如果B没有最大元素,则对于任意x∈B,都存在y∈B,使得x<y。由于I是区间,所以存在一个实数z∈I,使得x<z<y。根据实数的稠密性,存在有理数r∈Q∩(x,z)和s∈Q∩(z,y),那么r∈B且r≥x,s∈B且s≤y,这与x<y矛盾。所以B有一个最大元素x0。
最后证明x0是A的最小元素。如果存在y0∈A,使得y0<x0,则必定存在一个实数z∈(y0,x0),使得z∈A。因为x0是B的最大元素,所以z不在B中,也就是z>x1,但这与z∈(y0,x0)矛盾。所以x0是A的最小元素。
如果a和b一个是0一个非0,a!||b!的结果是什么
如果 `a` 是零值而 `b` 是非零值,那么 `a!` 的值为 `true`,而 `b!` 的值为 `false`。因此,表达式 `a!||b!` 的结果为 `true || false`,即 `true`。
同理,如果 `a` 是非零值而 `b` 是零值,那么 `a!` 的值为 `false`,而 `b!` 的值为 `true`。因此,表达式 `a!||b!` 的结果为 `false || true`,即 `true`。
因此,当 `a` 和 `b` 一个是零值一个是非零值时,表达式 `a!||b!` 的结果是 `true`。
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