蒙特卡洛方法 强化学习

### 蒙特卡洛方法在强化学习中的实现与实例

#### 实现原理
蒙特卡洛方法是一种基于采样的算法，在给定策略的情况下通过完整的序列来估计价值函数。该类方法不需要环境模型即可工作，仅依赖于实际经历的经验轨迹。当一次回合结束时，所有状态的价值可以通过平均这些状态下获得的回报来进行更新[^2]。

#### 更新方式
对于每一个访问过的状态 \( s \)，如果采用首次访问型蒙特卡罗方法，则只考虑第一次到达此状态后的奖励；若是每次访问型，则无论次数如何都会纳入计算。具体来说，每当遇到一个新的终止回合并记录下其中的状态-动作对及其收益之后，就可以按照下面的方式调整对应的动作价值：

\[ Q(s_t,a_t)\leftarrow Q(s_t,a_t)+\alpha[G_t-Q(s_t,a_t)] \]

这里 \( G_t=\sum_{k=0}^{T-t}\gamma^kr_{t+k+1} \) 是从时间步 t 开始到终点 T 的折扣累积奖赏，\( r_i \) 表示即时奖励，而 \( \gamma \) 则是折扣因子。

#### Python代码示例
以下是使用Python编写的简单蒙特卡洛预测算法用于求解特定环境中各状态下的最优行动价值函数的一个例子:

import numpy as np

def mc_prediction_q(env, num_episodes, generate_episode, gamma=1.0, N_0=5):
    returns_sum = defaultdict(lambda: np.zeros(env.action_space.n))
    returns_count = defaultdict(lambda: np.zeros(env.action_space.n))
    Q = defaultdict(lambda: np.zeros(env.action_space.n))

    for i_episode in range(1, num_episodes + 1):
        episode = generate_episode()
        states, actions, rewards = zip(*episode)

        discounts = np.array([gamma ** i for i in range(len(rewards) + 1)])
        
        for i, state in enumerate(states):
            action = actions[i]
            reward = sum(rewards[i:] * discounts[:-(i + 1)])

            returns_sum[state][action] += reward
            returns_count[state][action] += 1.0
            Q[state][action] = returns_sum[state][action] / returns_count[state][action]

    return dict(Q)

这段程序定义了一个名为`mc_prediction_q`的功能，它接收一个环境对象 `env`, 集合数量 `num_episodes` 和生成单个集合的方法 `generate_episode`. 它返回的是字典形式的状态-行为值表 `Q`.