用ceres-solver求解二维变换矩阵

Ceres Solver 是一个用于非线性最小二乘问题的开源C++库。要使用 Ceres Solver 求解二维变换矩阵，需要定义一个误差函数，并用 Ceres Solver 最小化这个误差函数。

假设我们有一组原始点 $(x_i, y_i)$ 和目标点 $(u_i, v_i)$，要求一个二维变换矩阵 $H$，使得原始点通过 $H$ 变换后的坐标 $(x'_i, y'_i)$ 尽可能接近目标点 $(u_i, v_i)$。可以定义一个误差函数为：

$$
E(H) = \sum_{i=1}^n \left\| \begin{bmatrix} u_i \\ v_i \\ 1 \end{bmatrix} - H \begin{bmatrix} x_i \\ y_i \\ 1 \end{bmatrix} \right\|^2
$$

其中 $\left\| \cdot \right\|$ 表示向量的欧几里得范数。接下来，使用 Ceres Solver 最小化这个误差函数。Ceres Solver 需要提供一个初始的变换矩阵 $H_0$，可以使用单位矩阵作为初始值。

下面是一个使用 Ceres Solver 求解二维变换矩阵的例子：

#include <ceres/ceres.h>
#include <ceres/rotation.h>

struct TransformCostFunctor
{
    TransformCostFunctor(double u, double v, double x, double y)
        : u(u), v(v), x(x), y(y) {}

    template <typename T>
    bool operator()(const T* const h, T* residual) const
    {
        T x_transformed = h[0] * T(x) + h[1] * T(y) + h[2];
        T y_transformed = h[3] * T(x) + h[4] * T(y) + h[5];
        T w_transformed = h[6] * T(x) + h[7] * T(y) + h[8];

        // 将齐次坐标转换为非齐次坐标
        x_transformed /= w_transformed;
        y_transformed /= w_transformed;

        // 计算残差
        residual[0] = T(u) - x_transformed;
        residual[1] = T(v) - y_transformed;

        return true;
    }

    const double u, v, x, y;
};

int main()
{
    std::vector<double> x = { 1, 2, 3, 4 };
    std::vector<double> y = { 1, 3, 4, 2 };
    std::vector<double> u = { 2, 4, 6, 8 };
    std::vector<double> v = { 2, 6, 8, 4 };

    double h[9] = { 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 };  // 初始变换矩阵
    ceres::Problem problem;

    for (int i = 0; i < x.size(); i++)
    {
        ceres::CostFunction* cost_function =
            new ceres::AutoDiffCostFunction<TransformCostFunctor, 2, 9>(
                new TransformCostFunctor(u[i], v[i], x[i], y[i]));
        problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, h);
    }

    ceres::Solver::Options options;
    options.max_num_iterations = 1000;
    options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;
    options.minimizer_progress_to_stdout = true;

    ceres::Solver::Summary summary;
    ceres::Solve(options, &problem, &summary);

    std::cout << summary.FullReport() << std::endl;
    std::cout << "Final transformation matrix: " << std::endl;
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            std::cout << h[i * 3 + j] << " ";
        }
        std::cout << std::endl;
    }

    return 0;
}

在上面的代码中，我们定义了一个 `TransformCostFunctor` 类，用来计算每个点的误差。这个类重载了 `()` 运算符，接受一个变换矩阵 $H$ 和一个原始点 $(x_i, y_i)$，并计算变换后的坐标 $(x'_i, y'_i)$。然后，将变换后的坐标 $(x'_i, y'_i)$ 和目标点 $(u_i, v_i)$ 的差作为残差返回。

在 `main()` 函数中，我们首先定义了原始点和目标点的坐标。然后，定义了一个初始变换矩阵 `h`。接下来，使用 Ceres Solver 将每个点的误差加入到问题中，并设置求解器的参数。最后调用 `ceres::Solve()` 函数求解变换矩阵，并输出求解结果。

注意，这个例子中使用的是自动微分（AutoDiff），因此需要在 `ceres::AutoDiffCostFunction` 中指定 `TransformCostFunctor` 类的模板参数。如果你想使用其他的求导方法，可以使用 `ceres::NumericDiffCostFunction` 或自己实现 `ceres::CostFunction` 类。