E. DS查找—折半查找求阶乘函数后K个零

折半查找算法可以用来求解阶乘函数后K个零的问题。具体思路如下：

1. 定义一个函数count_zeros(n)，用来计算n!中末尾0的个数。

2. 因为末尾0的个数是由2和5的乘积决定的，所以我们可以先计算n!中5的个数，然后再算2的个数。

3. 对于一个正整数n，它可以分解为n = 5^p * m，其中m是不含5因子的整数，p是整数。因此，n!中5的个数就是p = floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ...，其中floor(x)表示不大于x的最大整数。

4. 对于n!中2的个数，可以按照类似的方法计算，即p = floor(n/2) + floor(n/4) + floor(n/8) + ...。

5. 因为2的个数一定比5的个数多，所以我们只需要计算5的个数即可。

6. 然后我们可以使用折半查找算法来查找阶乘函数后K个零的位置，具体步骤如下：

a. 定义一个函数binary_search(left, right, target)，其中left表示左边界，right表示右边界，target表示要查找的目标值。

b. 在[left, right]区间内进行二分查找，找到第一个使count_zeros(mid) >= K的mid值。

c. 如果找到了mid值，则阶乘函数后K个零的位置就是mid，否则阶乘函数中不存在K个零。

下面是一个Python实现的代码示例：

def count_zeros(n):
    """计算n!中末尾0的个数"""
    count = 0
    while n > 0:
        n //= 5
        count += n
    return count

def binary_search(left, right, target):
    """折半查找算法"""
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if count_zeros(mid) >= target:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return left if count_zeros(left) == target else -1

def factorial_k_zeros(K):
    """求阶乘函数后K个零的位置"""
    return binary_search(0, K * 5, K)

# 测试
print(factorial_k_zeros(1))  # 输出：5
print(factorial_k_zeros(2))  # 输出：10
print(factorial_k_zeros(3))  # 输出：15

在上面的代码中，我们首先定义了一个函数count_zeros(n)，用来计算n!中末尾0的个数。然后定义了一个函数binary_search(left, right, target)，用来进行折半查找。最后，我们定义了一个函数factorial_k_zeros(K)，用来求解阶乘函数后K个零的位置。在测试中，我们分别求解了阶乘函数后1个、2个、3个零的位置。