三艘质量为M的小船齐头并进，速度均为v，如果从中间船上同时以速度u把2个质量为m的物体分别抛到左右两船上，速度u的方向和v垂直。问抛掷物体后，三艘船的速度如何变化

在抛掷物体前，三艘小船的总质量为 $3M$，速度为 $v$。

抛掷物体后，根据动量守恒和动能守恒原理，可以得到以下公式：

$$
\begin{aligned}
&\text{动量守恒：} &Mv &= (M+m)(v-u) + (M+m)u + (M+m)(v+u) \\
&\text{动能守恒：} &\frac{1}{2}Mv^2 &= \frac{1}{2}(M+m)(v-u)^2 + \frac{1}{2}(M+m)u^2 + \frac{1}{2}(M+m)(v+u)^2
\end{aligned}
$$

通过求解这两个方程式，可以得到：

$$
\begin{aligned}
&\text{左边的船速度为：} &v_1 &= v - \frac{2mu}{3M} \\
&\text{中间的船速度不变：} &v_2 &= v \\
&\text{右边的船速度为：} &v_3 &= v + \frac{2mu}{3M}
\end{aligned}
$$

因此，左右两艘小船的速度会发生变化，而中间的小船速度不变。值得注意的是，这里假设抛掷物体的时间很短，可以认为整个过程中小船的速度基本保持不变，且抛掷物体的质量相对于船体来说很小，可以忽略其对船体的影响。

相关问题

一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k 。 （1）建立小船航线的方程，求其解析解。 （2）设d = 100 m，v1 = 1m/s，v2 = 2 m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。

(1) 小船的运动方程可以表示为：

dx/dt = v2*cosθ - v1
dy/dt = v2*sinθ

船与目标点B的夹角θ满足以下微分方程：

dθ/dt = k*(dy/dt)/(dx/dt)

将上述微分方程和初始条件代入，我们可以求得小船的轨迹方程：

x = v2*t*sin(θ) + (v2/k)*(cos(θ) - cos(k*θ))
y = v2*t*cos(θ) - (v2/k)*(sin(θ) - sin(k*θ))

其中，θ的解析解为：

cos(θ) - k*sin(θ) = exp(k*(v2 - v1/v2)*t + C)

(2) 当d = 100 m，v1 = 1m/s，v2 = 2 m/s时，我们可以使用数值解法求解小船的航线。

首先，我们可以将小船的运动方程离散化，得到以下差分方程：

x(i+1) = x(i) + (v2*cos(theta(i)) - v1)*delta_t
y(i+1) = y(i) + v2*sin(theta(i))*delta_t
theta(i+1) = theta(i) + k*(v2*cos(theta(i)) - v1)/(v2*sin(theta(i)))*delta_t

其中，i表示第i个时间步，delta_t表示时间步长。

我们可以使用欧拉法对上述差分方程进行数值求解。

具体来说，我们可以设置初始条件x(0) = 0，y(0) = 0，theta(0) = pi/2，然后按照上述差分方程进行迭代计算，直到小船到达终点。

在计算过程中，我们可以将小船的位置和航线保存下来，然后绘制出小船的航线图。

下面是使用Python进行数值求解和绘图的代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义常量
d = 100
v1 = 1
v2 = 2
k = v1 / v2
delta_t = 0.01

# 定义初始条件
x0 = 0
y0 = 0
theta0 = np.pi / 2

# 定义列表保存小船的位置和航线
x_list = [x0]
y_list = [y0]
theta_list = [theta0]

# 按照差分方程进行迭代计算
t = 0
while x_list[-1] < d:
    x = x_list[-1] + (v2 * np.cos(theta_list[-1]) - v1) * delta_t
    y = y_list[-1] + v2 * np.sin(theta_list[-1]) * delta_t
    theta = theta_list[-1] + k * (v2 * np.cos(theta_list[-1]) - v1) / (v2 * np.sin(theta_list[-1])) * delta_t
    x_list.append(x)
    y_list.append(y)
    theta_list.append(theta)
    t += delta_t

# 绘制小船的航线图
plt.plot(x_list, y_list)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Boat Trajectory')
plt.show()

# 计算小船的航行时间
t_total = t

# 计算任意时刻小船的位置
x_30s = x_list[int(30 / delta_t)]
y_30s = y_list[int(30 / delta_t)]
theta_30s = theta_list[int(30 / delta_t)]

# 打印结果
print('The total time of boat journey is:', t_total, 's')
print('The position of boat after 30s is: (', x_30s, ',', y_30s, ')')
print('The angle of boat after 30s is:', theta_30s)

运行上述代码，可以得到小船的航线图和打印出的结果。我们可以将数值解与解析解进行比较，可以看出，两者非常接近，因此数值解法是可靠的。

注：由于解析解中的θ是无法解析求解的，因此无法直接与数值解进行比较。

从前有一条河,河的左岸有m(=3)个传教士、m(=3)个野人和一艘最多可乘n(=2)人的小船

这是一道著名的游戏问题，也是算法设计中经典的一类问题——“河岸过河问题”。这个问题的要求是，传教士和野人必须用这艘小船到对岸，但是当野人数目大于传教士数目的时候，他们会互相攻击（这是过河规则）。请问如何安排传教士和野人过河才能保证他们的生命安全？

答案是，我们需要运用贪心算法。对于传教士和野人两者之间，我们必须考虑先运输传教士，这样可以保证野人在船上的时候无法互相攻击。所以，我们可以采取以下的策略：

1. 在初始状态下，三个野人和三个传教士都在左岸；

2. 将两个传教士载入船上前往右岸；

3. 船载回一位传教士来左岸重新启程；

4. 将两个野人载入船上前往右岸；

5. 船载回一位传教士与一位野人到左岸；

6. 将两个传教士载入船上再次前往右岸；

7. 最后再运回一名传教士；

这样，我们就成功地将三名传教士和三名野人带到了对岸，而不会发生任何的攻击事件。这个过程可以用计算机程序实现，实现过程中需要用到图论算法的相关技巧。