LM算法python求解非线性方程组

LM算法是一种非线性最小二乘算法，可以用于求解非线性方程组。以下是一个用Python实现LM算法求解非线性方程组的示例代码：

import numpy as np

def fun(x):
    return np.array([
        x[0] + 2 * x[1] - 2,
        x[0] ** 2 + 4 * x[1] ** 2 - 4
    ])

def jac(x):
    return np.array([
        [1, 2],
        [2 * x[0], 8 * x[1]]
    ])

def LM(fun, jac, x0, max_iter=100, tol=1e-6, mu=1.0):
    x = x0.copy()
    f = fun(x)
    J = jac(x)
    A = J.T @ J + mu * np.eye(len(x))
    g = J.T @ f
    v = np.linalg.solve(A, -g)
    x_new = x + v
    f_new = fun(x_new)
    rho = (np.linalg.norm(f) ** 2 - np.linalg.norm(f_new) ** 2) / (v.T @ (mu * v - g))
    if rho > 0:
        x = x_new
        f = f_new
        J = jac(x)
        A = J.T @ J + mu * np.eye(len(x))
        g = J.T @ f
        if np.linalg.norm(g) < tol:
            return x
        else:
            mu *= max(1 / 3, 1 - (2 * rho - 1) ** 3)
    else:
        mu *= 4
    for i in range(max_iter):
        v = np.linalg.solve(A, -g)
        x_new = x + v
        f_new = fun(x_new)
        rho = (np.linalg.norm(f) ** 2 - np.linalg.norm(f_new) ** 2) / (v.T @ (mu * v - g))
        if rho > 0:
            x = x_new
            f = f_new
            J = jac(x)
            A = J.T @ J + mu * np.eye(len(x))
            g = J.T @ f
            if np.linalg.norm(g) < tol:
                return x
            else:
                mu *= max(1 / 3, 1 - (2 * rho - 1) ** 3)
        else:
            mu *= 4
    return x

x0 = np.array([1, 1])
x = LM(fun, jac, x0)
print(x)

这个例子中，我们要求解的非线性方程组是：

$$
\begin{aligned}
x_1 + 2x_2 &= 2 \\
x_1^2 + 4x_2^2 &= 4
\end{aligned}
$$

其中，$x_1$和$x_2$是未知变量。我们定义一个函数`fun`来表示这个方程组，另外还需要定义一个求导的函数`jac`。在LM算法的主函数中，我们首先需要对$x$求解$f$和$J$，然后构造矩阵$A$和向量$g$，并求解$v$。接着，我们计算$\rho$，如果$\rho$大于0，则说明$x$可以更新为$x+\Delta x$，否则需要增加$\mu$的值以控制步长。最后，我们在循环中不断迭代，直到达到最大迭代次数或者梯度的范数小于给定的容差值。最终，函数返回求解得到的$x$值。