证明变换A是正交变换和该变换是对称变换，A^2=idv等价

假设A是一个n x n矩阵，其中idv是n x n的单位矩阵。

首先证明如果A是正交变换，则A是对称变换：

因为A是正交变换，所以满足A^T A = idv。对于任意矩阵B，有(A^T B)^T = B^T A，因此如果取B=A，那么(A^T A)^T = A^T A，即A^T = A，所以A是对称变换。

然后证明如果A是对称变换，则A是正交变换：

因为A是对称变换，所以满足A^T = A。因此，对于任意向量x，有x^T A^T A x = (Ax)^T Ax = ||Ax||^2。因为A是对称变换，所以它的特征值都是实数，同时因为A^T A = idv，所以它的特征值只可能是1或-1。因此，||Ax||^2 = λ||x||^2，其中λ = 1或λ = -1。因为||Ax|| >= 0，所以λ必须是1，即A是正交变换。

最后证明A^2 = idv等价于A是正交变换且A是对称变换：

如果A是正交变换，则有A^T A = idv，因此A^2 = idv。因为A是正交变换，所以它的特征值只可能是1或-1，因此A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。因此，A是正交变换且A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。

如果A是对称变换，则有A^T = A，因此A^2 = A A^T = A^T A = idv。因为A是对称变换，所以它的特征值只可能是实数，同时因为A^2 = idv，所以它的特征值只可能是1或-1。因此，A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。因此，A是对称变换且A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。

综上所述，A是正交变换且A是对称变换等价于A^2 = idv。