python实现广义多项式欧几里得除法

在Python中，广义多项式欧几里得除法通常用于计算两个多项式的最大公约数（GCD），特别是在处理多项式求解、密码学等领域。这个过程类似于整数的欧几里得算法，但它应用于多项式。

首先，你需要定义一个多项式类，包含系数列表表示多项式。下面是一个简单的实现：

class Polynomial:
    def __init__(self, coefficients):
        self.coefficients = coefficients[::-1]

    def gcd(self, other):
        if not isinstance(other, Polynomial):
            raise ValueError("Can only compute GCD with another Polynomial")

        result = Polynomial([0] * (len(self) + len(other)))
        a, b = self, other

        while b is not None:
            q, r = divmod(a.degree(), b.degree())
            a, b = b, a - q * b
            result coefficients.extend(a.coefficients[-(r+1):])

        return result

    @property
    def degree(self):
        return len(self.coefficients) - 1 if self.coefficients else None

    def __repr__(self):
        return " + ".join(f"{coeff}*x^{''.join(str(i) for i in range(degree, -1, -1))}" for coeff, degree in zip(self.coefficients, range(len(self))))

在这个例子中，`gcd`方法实现了广义欧几里得算法，通过不断将较大多项式的系数减去较小多项式的q倍，直到余数为零。结果多项式就是两个输入多项式的最大公约数。

为了计算两个多项式的商，你可以调用`divmod`函数，就像对整数做除法一样：

def polynomial_division(dividend, divisor):
    quotient, remainder = Polynomial(dividend).gcd(Polynomial(divisor))
    return quotient, remainder

# 使用示例
dividend = [1, 2, 3, 4]
divisor = [1, 0, 2]
quotient, remainder = polynomial_division(dividend, divisor)
print(f"Quotient: {quotient}, Remainder: {remainder}")