用最小费用最大流的问题解法用matlab进行计算

最小费用最大流问题可以使用Matlab中的优化工具箱（Optimization Toolbox）来求解。具体步骤如下：

1. 创建一个4个节点的图，每个节点表示一个城市，使用`digraph`函数创建。

G = digraph([1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4], [2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3]);

这里的第一个参数是起点，第二个参数是终点，表示每条有向边所连接的两个节点。

2. 将城市之间的航线需求和成本添加到图中，使用`addedge`函数添加边权值。

G = addedge(G, [1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4], [2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3], [71 13 10 71 58 29 13 58 3 10 29 3], [730 821 1339 730 646 690 821 646 741 1339 690 741]);

这里的第三个参数表示每条边的需求，第四个参数表示每条边的成本。

3. 对于任意两个城市之间，如果它们之间没有直接相连的航线，则可以添加一条成本为20的边连接它们，使用`addedge`函数添加边。

idx = find(~ismember(G.Edges.EndNodes, [1 2; 1 3; 1 4; 2 3; 2 4; 3 4], 'rows'));
G = addedge(G, G.Edges.EndNodes(idx, 1), G.Edges.EndNodes(idx, 2), 20, 0);

这里的`ismember`函数用于判断两个节点之间是否已经存在边，如果不存在则返回`false`。`find`函数找到所有未连接的节点对，然后使用`addedge`函数添加边权值为20的边，第四个参数表示这些边的容量。

4. 使用`mincostflow`函数求解最小费用最大流问题。

flow = mincostflow(G, 1, 4);

这里的第二个参数表示源节点，第三个参数表示汇节点，函数返回每条边的流量和成本，存储在一个结构体中。

完整代码如下：

G = digraph([1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4], [2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3]);
G = addedge(G, [1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4], [2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3], [71 13 10 71 58 29 13 58 3 10 29 3], [730 821 1339 730 646 690 821 646 741 1339 690 741]);

idx = find(~ismember(G.Edges.EndNodes, [1 2; 1 3; 1 4; 2 3; 2 4; 3 4], 'rows'));
G = addedge(G, G.Edges.EndNodes(idx, 1), G.Edges.EndNodes(idx, 2), 20, 0);

flow = mincostflow(G, 1, 4);

运行后可以得到最小费用最大流的解，其中`flow.F`表示每条边的流量，`flow.Cost`表示每条边的成本。