求在圆锥面z=√（x²+y²）与平面z=1所围成的区域内，各面平行于坐标面的最大长方体体积

首先，我们可以画出圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=1$ 的交线在 $xy$ 平面上的图形：


可以看出，该图形是一个半径为 $1$ 的圆。

同时，我们可以发现，在该区域内，各面平行于坐标面的最大长方体的一个顶点必然在圆锥面上，且这个点到平面 $z=1$ 的距离为 $1$。

因此，我们可以设该长方体的顶点为 $(r\cos\theta, r\sin\theta, \sqrt{r^2})$，其中 $0\leq r\leq 1$，$0\leq\theta<2\pi$。

根据题意，该长方体的体积为 $V=r^2\sqrt{r^2}$。

要求最大体积，可以对 $V$ 进行求导：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}&=2r\sqrt{r^2}+r^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{r^2}}\cdot 2r\\
&=3r\sqrt{r^2}
\end{aligned}
$$

令其为 $0$，解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}$。因此，该长方体的最大体积为 $V=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\cdot\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{9}$。

因此，在圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的区域内，各面平行于坐标面的最大长方体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$。