如何计算多自由度体系在地震作用下的动态响应？请结合自由振动和强迫振动的概念进行说明。

在考虑地震作用下的结构动态响应时，多自由度体系（MDOF）的分析是必不可少的。自由振动和强迫振动是结构动力学中的两个基本概念，它们对于理解结构在地震荷载作用下的反应至关重要。

参考资源链接：[结构动力学：多自由度体系振动分析](https://wenku.csdn.net/doc/7iw3rgmgza?spm=1055.2569.3001.10343)

自由振动发生在没有外力作用的情况下，结构仅因为初始条件（如初始位移或初始速度）而开始振动。对于多自由度体系，自由振动的特点是体系内各个质点按照固有的频率振动，这些频率取决于结构的质量和刚度分布。通常，通过求解特征值问题来确定这些自然频率和相应的模态振型。

强迫振动则是指结构受到外部动力荷载（如地震、风荷载）影响时发生的振动。在地震作用下，结构的动态响应通常通过建立运动方程来求解。对于多自由度体系，这些运动方程一般以矩阵形式表示，即：

[M]{x''(t)} + [C]{x'(t)} + [K]{x(t)} = {F(t)}

其中，[M]是质量矩阵，[C]是阻尼矩阵，[K]是刚度矩阵，{x(t)}是位移向量，{x'(t)}是速度向量，{x''(t)}是加速度向量，{F(t)}是外部地震力向量。

在求解上述方程时，可以采用数值方法，例如直接积分法（如Newmark β方法）或模态分析法。模态分析法通过将多自由度问题转换为单自由度问题来简化计算，每个单自由度系统的频率和振型对应于原系统的自然频率和振型。

在实际计算中，首先需要确定结构的质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]以及阻尼矩阵[C]。然后，选择合适的地震力时间历程{F(t)}，地震力可以通过规范提供的地震波形或人工生成的地震波形得到。根据地震波形和结构特性，利用数值积分方法可以求得结构在地震作用下的位移、速度和加速度响应。

综合自由振动和强迫振动的知识，可以更好地理解和计算结构在地震作用下的动态响应。通过这些分析，工程师能够评估结构在不同地震荷载下的性能，确保设计的安全性和可靠性。

为了更深入地了解这一过程，建议参考《结构动力学：多自由度体系振动分析》这一资料。其中不仅包含了理论知识，还有相关的案例分析，有助于读者在理解基本原理的同时，掌握实际应用中的计算技巧。

参考资源链接：[结构动力学：多自由度体系振动分析](https://wenku.csdn.net/doc/7iw3rgmgza?spm=1055.2569.3001.10343)