matlab多自由度体系振型叠加法强迫振动求解

多自由度体系的振型叠加法强迫振动求解步骤如下：

1. 建立多自由度体系的动力学方程，通常采用拉格朗日方程或牛顿第二定律。

2. 将动力学方程化为矩阵形式，得到系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。

3. 求解系统的特征方程，得到系统的固有频率和振型。

4. 根据所求得的多个固有频率和振型，构造出系统的模态矩阵。

5. 将模态矩阵进行正交化处理，得到正交模态矩阵。

6. 根据所施加的外力的特点，选择合适的激励函数。

7. 将激励函数分解为各个固有频率的分量，得到各个自由度的激励函数。

8. 利用正交模态矩阵将各个自由度的激励函数转换为模态激励函数。

9. 根据模态激励函数和各个模态的振型，得到各个自由度的振动响应。

10. 将各个自由度的振动响应进行叠加，得到系统的总振动响应。

相关问题

matlab多自由度体系振型叠加法采用正则坐标求解无阻尼强迫振动

在多自由度体系中，振型叠加法是一种常用的求解无阻尼强迫振动的方法。其基本思想是将体系的振动分解为若干个简谐振动的叠加，每个简谐振动的振幅和相位都由初始条件决定。

具体来说，假设多自由度体系有n个自由度，其运动方程可以表示为：

Mq'' + Kq = F cos(ωt)

其中，M是质量矩阵，K是刚度矩阵，q是位移向量，F是外力向量，ω是外力的角频率。

为了求解这个方程，可以采用正则坐标法。将位移向量q分解为正则坐标q1、q2、...、qn，即：

q = Qξ

其中，Q是正交矩阵，ξ是正则坐标向量。将这个式子代入原方程，得到：

Q'MQξ'' + Q'KQξ = Q'F cos(ωt)

为了使这个方程简化，可以令：

Q'KQ = ω^2

这样，原方程就变成了：

ξ'' + ω^2ξ = Q'F cos(ωt)M^-1Qξ

这个式子可以看作是n个单自由度体系的叠加，每个单自由度体系的运动方程为：

ξi'' + ωi^2ξi = qi'F cos(ωt)Mi^-1qiξi

其中，ωi是第i个正则坐标对应的角频率，qi是Q的第i列，Mi是M的第i行。

这个方程可以通过求解单自由度体系的振动来得到整个体系的振动。每个单自由度体系的振动可以表示为：

ξi(t) = Ai cos(ωit + φi)

其中，Ai和φi是待定系数，需要根据初始条件来确定。将这个式子代入单自由度体系的运动方程，得到：

Ai(ωi^2 - ω^2)cos(ωit + φi) = qi'F cos(ωt)Mi^-1qiAi cos(ωit + φi)

因为ωi不等于ω，所以只有当ωi等于ω时，才会有振幅Ai不为零。因此，可以将上式中的cos(ωit + φi)替换为cos(ωt)和sin(ωt)，得到：

Ai(ωi^2 - ω^2) = qi'F Mi^-1qi

Aiφi = -qi'F Mi^-1qi/[(ωi^2 - ω^2)Ai]

根据这两个式子，可以求解出每个单自由度体系的振幅和相位，进而得到整个体系的振动。

matlab多自由度体系振型叠加法采用正则坐标求解无阻尼强迫振动 代码实现

以下是一个简单的 Matlab 代码实现多自由度体系振型叠加法求解无阻尼强迫振动的过程。

首先定义系统的参数，包括质量矩阵、刚度矩阵和外力向量：

% 定义系统参数
M = [1 0; 0 2];  % 质量矩阵
K = [3 -1; -1 2];  % 刚度矩阵
F = [2*sin(2*t); 0];  % 外力向量

接着，由于采用正则坐标求解，需要计算正则坐标变换矩阵：

% 计算正则坐标变换矩阵
[V, D] = eig(K, M);  % 求解广义特征值问题
P = V' * M;  % 正则坐标变换矩阵

然后，根据正则坐标求解每个振型的振幅和相位，将其叠加得到总振动响应：

% 叠加各振型的振动响应
X = zeros(length(F), 1);  % 初始化总振动响应
for i = 1:length(F)
    w = sqrt(D(i, i));  % 求解振型频率
    C = P(i, :) * F / (w^2 - D(i, i));  % 求解振幅
    phi = atan2(w * (P(i, 2) * F(1) - P(i, 1) * F(2)), ...
        w^2 - D(i, i) - w * (P(i, 1)^2 * F(1) + P(i, 2)^2 * F(2)));  % 求解相位
    X = X + C * V(:, i) * sin(w * t + phi);  % 叠加振动响应
end

最后，将得到的总振动响应作图展示：

% 绘制振动响应图像
plot(t, X);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Displacement (m)');
legend('m1', 'm2');

完整的代码如下：

% 定义时间范围和时间步长
t = 0:0.01:10;

% 定义系统参数
M = [1 0; 0 2];  % 质量矩阵
K = [3 -1; -1 2];  % 刚度矩阵
F = [2*sin(2*t); 0];  % 外力向量

% 计算正则坐标变换矩阵
[V, D] = eig(K, M);  % 求解广义特征值问题
P = V' * M;  % 正则坐标变换矩阵

% 叠加各振型的振动响应
X = zeros(length(F), 1);  % 初始化总振动响应
for i = 1:length(F)
    w = sqrt(D(i, i));  % 求解振型频率
    C = P(i, :) * F / (w^2 - D(i, i));  % 求解振幅
    phi = atan2(w * (P(i, 2) * F(1) - P(i, 1) * F(2)), ...
        w^2 - D(i, i) - w * (P(i, 1)^2 * F(1) + P(i, 2)^2 * F(2)));  % 求解相位
    X = X + C * V(:, i) * sin(w * t + phi);  % 叠加振动响应
end

% 绘制振动响应图像
plot(t, X);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Displacement (m)');
legend('m1', 'm2');