matlab求解多自由度体系强迫振动采用振型叠加法

时间: 2023-05-29 15:02:55 浏览: 669
多自由度体系强迫振动的求解可以采用振型叠加法(Modal Superposition Method)。该方法基于振型理论,将多自由度系统的振动分解成若干个单自由度系统的振动,再将其组合成总振动。具体步骤如下: 1. 求解系统的固有振型和固有频率,即求解系统的特征值和特征向量。 2. 将外力表示为各个固有振型的叠加,即将外力投影到每个固有振型上。 3. 求解每个单自由度系统的响应,即求解每个单自由度系统的强迫响应和自由振动响应。 4. 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。 具体的数学公式可以表示为: $$ x(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) \phi_i(t) $$ 其中,$x(t)$为系统的总响应,$c_i(t)$为第$i$个固有振型的振幅随时间变化的函数,$\phi_i(t)$为第$i$个固有振型的振动形式。 使用matlab进行多自由度体系强迫振动的求解,可以借助于matlab中的模态分析工具箱(Modal Analysis Toolbox)。具体步骤如下: 1. 定义系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵。 2. 使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型。 3. 将外力投影到每个固有振型上,得到投影矩阵。 4. 求解每个单自由度系统的响应,可以使用matlab中的ode45函数求解。 5. 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。 具体的matlab代码可以参考以下示例: ```matlab % 定义系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵 M = [1 0; 0 2]; K = [2 -1; -1 2]; F = @(t) [sin(t); 0]; % 使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型 [V, D] = eig(K, M); omega = sqrt(diag(D)); phi = V; % 将外力投影到每个固有振型上,得到投影矩阵 P = phi' * F(t); % 求解每个单自由度系统的响应 for i = 1:length(omega) % 定义单自由度系统的初始条件:位移为0,速度为0 y0 = [0; 0]; % 定义单自由度系统的方程 f = @(t, y) [y(2); -2*xi*omega(i)*y(2) - omega(i)^2*y(1) + P(i)*sin(omega(i)*t)]; % 使用ode45函数求解单自由度系统的响应 [t, y] = ode45(f, [0 10], y0); % 将单自由度系统的响应按照振型叠加 c(i, :) = phi(:, i)' * y'; end % 将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应 x = sum(c .* sin(omega*t), 1); ``` 在上述代码中,我们先定义了系统的质量矩阵、刚度矩阵和外力矩阵,然后使用模态分析工具箱中的函数求解系统的固有频率和固有振型。接着,我们将外力投影到每个固有振型上,得到投影矩阵。然后,我们求解每个单自由度系统的响应,可以使用matlab中的ode45函数求解。最后,我们将每个单自由度系统的响应按照各自的振型叠加得到总响应。

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