matlab多自由度体系振型叠加法采用正则坐标求解无阻尼强迫振动

在多自由度体系中，振型叠加法是一种常用的求解无阻尼强迫振动的方法。其基本思想是将体系的振动分解为若干个简谐振动的叠加，每个简谐振动的振幅和相位都由初始条件决定。

具体来说，假设多自由度体系有n个自由度，其运动方程可以表示为：

Mq'' + Kq = F cos(ωt)

其中，M是质量矩阵，K是刚度矩阵，q是位移向量，F是外力向量，ω是外力的角频率。

为了求解这个方程，可以采用正则坐标法。将位移向量q分解为正则坐标q1、q2、...、qn，即：

q = Qξ

其中，Q是正交矩阵，ξ是正则坐标向量。将这个式子代入原方程，得到：

Q'MQξ'' + Q'KQξ = Q'F cos(ωt)

为了使这个方程简化，可以令：

Q'KQ = ω^2

这样，原方程就变成了：

ξ'' + ω^2ξ = Q'F cos(ωt)M^-1Qξ

这个式子可以看作是n个单自由度体系的叠加，每个单自由度体系的运动方程为：

ξi'' + ωi^2ξi = qi'F cos(ωt)Mi^-1qiξi

其中，ωi是第i个正则坐标对应的角频率，qi是Q的第i列，Mi是M的第i行。

这个方程可以通过求解单自由度体系的振动来得到整个体系的振动。每个单自由度体系的振动可以表示为：

ξi(t) = Ai cos(ωit + φi)

其中，Ai和φi是待定系数，需要根据初始条件来确定。将这个式子代入单自由度体系的运动方程，得到：

Ai(ωi^2 - ω^2)cos(ωit + φi) = qi'F cos(ωt)Mi^-1qiAi cos(ωit + φi)

因为ωi不等于ω，所以只有当ωi等于ω时，才会有振幅Ai不为零。因此，可以将上式中的cos(ωit + φi)替换为cos(ωt)和sin(ωt)，得到：

Ai(ωi^2 - ω^2) = qi'F Mi^-1qi

Aiφi = -qi'F Mi^-1qi/[(ωi^2 - ω^2)Ai]

根据这两个式子，可以求解出每个单自由度体系的振幅和相位，进而得到整个体系的振动。