雅可比矩阵、海斯矩阵怎么求
时间: 2024-01-07 12:05:02 浏览: 32
雅可比矩阵(Jacobian matrix)和海森矩阵(Hessian matrix)是数学中的两类矩阵,分别用于描述多元函数的一阶和二阶导数信息。下面是它们求导的方法:
1. 雅可比矩阵
假设有 $n$ 个自变量 $x_1, x_2, ..., x_n$,以及 $m$ 个因变量 $y_1, y_2, ..., y_m$,则多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 的雅可比矩阵为:
$$\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{bmatrix}$$
其中,每个元素都是一个偏导数,表示第 $i$ 个因变量对第 $j$ 个自变量的偏导数。对于某个具体的函数,可以通过对每个自变量求偏导数来计算出雅可比矩阵。
2. 海森矩阵
假设有 $n$ 个自变量 $x_1, x_2, ..., x_n$,则多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 的海森矩阵为:
$$\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}$$
其中,每个元素都是二阶偏导数,表示第 $i$ 个自变量和第 $j$ 个自变量的混合偏导数。对于某个具体的函数,可以先对每个自变量求一阶偏导数,再对每个自变量求二阶偏导数来计算出海森矩阵。