假设 A, A′ ,B,B′ 是理想大小的矩阵。请证明 (A×A′ )⊗(B×B′ ) = (A ⊗ B) × (A′ ⊗ B′ )。
时间: 2024-02-19 10:02:22 浏览: 37
为了证明 (A×A′ )⊗(B×B′ ) = (A ⊗ B) × (A′ ⊗ B′ ),我们需要使用矩阵的 Kronecker 积的定义。Kronecker 积定义为:
A ⊗ B = [a11B a12B ... a1nB; a21B a22B ... a2nB; ...; am1B am2B ... amnB]
其中 A 是 m×n 矩阵,B 是 p×q 矩阵,而 aijB 是一个以 B 为元素的 m×n 子矩阵。Kronecker 积满足以下性质:
1. (A ⊗ B) × (C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD)
2. (A ⊗ B)′ = A′ ⊗ B′
3. (A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C
4. A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C
现在我们开始证明 (A×A′ )⊗(B×B′ ) = (A ⊗ B) × (A′ ⊗ B′ ):
首先,根据 Kronecker 积的定义,我们可以得到:
(A × A′) ⊗ (B × B′) = [(A × A′)11(B × B′) (A × A′)12(B × B′) ... (A × A′)1n(B × B′); (A × A′)21(B × B′) (A × A′)22(B × B′) ... (A × A′)2n(B × B′); ...; (A × A′)m1(B × B′) (A × A′)m2(B × B′) ... (A × A′)mn(B × B′)]
其中 (A × A′)ij 表示 A 的第 i 行和 A′ 的第 j 列的乘积,(B × B′)kl 表示 B 的第 k 行和 B′ 的第 l 列的乘积。
接下来,我们可以使用 Kronecker 积的性质来展开左边的式子:
(A × A′) ⊗ (B × B′) = (A ⊗ B) × (A′ ⊗ B′)
因此,我们证明了 (A×A′ )⊗(B×B′ ) = (A ⊗ B) × (A′ ⊗ B′) 的等式。
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