用MATLAB直接法设计切比雪夫II型数字低通滤波器，要求:通带ωp=0.2π，Rp=1dB;阻带ωs=0.3π，As=20dB。请描绘滤波器归一化的绝对和相对幅频特性、相频特性、零极点分布图，列出系统传递函数式。

好的，这是一个比较具体的问题，需要一步步来进行操作。下面是详细步骤：

步骤1：确定滤波器类型

由于题目中要求设计的是切比雪夫II型数字低通滤波器，因此我们需要先确定滤波器类型。

步骤2：计算滤波器阶数

由于题目中没有给出滤波器的阶数，因此需要先计算出滤波器的阶数。根据切比雪夫II型数字滤波器的公式，可以得到：

$$N \geq \frac{log_{10}\left[\frac{10^{0.1A_s}-1}{10^{0.1A_p}-1}\right]}{2log_{10}(\omega_s/\omega_p)}$$

其中，$A_p$为通带最大衰减量，$A_s$为阻带最小衰减量，$\omega_p$为通带截止频率，$\omega_s$为阻带截止频率。将题目中的参数代入公式中，可以得到：

$$N \geq \frac{log_{10}\left[\frac{10^{0.1\times20}-1}{10^{0.1\times1}-1}\right]}{2log_{10}(0.3/0.2)} \approx 2.4$$

由于阶数必须为整数，因此将其向上取整，得到滤波器的阶数$N=3$。

步骤3：计算归一化截止频率

通过计算可得到通带截止频率为$\omega_p=0.2\pi$，阻带截止频率为$\omega_s=0.3\pi$。由于MATLAB中的数字滤波器设计函数要求输入的截止频率必须是归一化的，因此需要先将其归一化。归一化的截止频率可以通过以下公式计算：

$$\Omega_p = \frac{\omega_p}{\omega_n}$$

$$\Omega_s = \frac{\omega_s}{\omega_n}$$

其中，$\omega_n$为Nyquist频率，一般取为$\pi$。将参数代入公式中，可以得到：

$$\Omega_p = \frac{0.2\pi}{\pi} = 0.2$$

$$\Omega_s = \frac{0.3\pi}{\pi} = 0.3$$

步骤4：使用MATLAB设计数字滤波器

在MATLAB中，可以使用`cheby2`函数来设计切比雪夫II型数字滤波器。代码如下：

% 滤波器阶数
N = 3;

% 通带最大衰减量（dB）
Ap = 1;

% 阻带最小衰减量（dB）
As = 20;

% 归一化截止频率
Wp = 0.2;
Ws = 0.3;

% 设计数字滤波器
[b, a] = cheby2(N, As, Ws);

其中，`N`为滤波器阶数，`Ap`为通带最大衰减量，`As`为阻带最小衰减量，`Wp`为归一化的通带截止频率，`Ws`为归一化的阻带截止频率。`cheby2`函数返回的`b`和`a`分别为滤波器的分子和分母多项式系数。

步骤5：绘制幅频特性、相频特性和零极点分布图

在MATLAB中，可以使用`freqz`函数来绘制滤波器的幅频特性和相频特性，使用`zplane`函数来绘制滤波器的零极点分布图。代码如下：

% 绘制幅频特性和相频特性
[h, w] = freqz(b, a);
mag = abs(h);
phase = angle(h);
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, mag);
title('Amplitude Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude (dB)');
subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, phase);
title('Phase Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Phase (rad)');

% 绘制零极点分布图
subplot(1, 1, 1);
zplane(b, a);
title('Pole-Zero Plot');

其中，`freqz`函数返回的`h`和`w`分别为滤波器的频率响应和频率向量。`abs`和`angle`函数分别用于计算频率响应的模和相位。`subplot`函数用于将多个图形绘制在同一个窗口中。`zplane`函数用于绘制滤波器的零极点分布图。

步骤6：列出系统传递函数式

根据MATLAB中`cheby2`函数返回的分子和分母多项式系数，可以列出系统传递函数式。代码如下：

% 列出系统传递函数式
syms z;
H(z) = poly2sym(b, z) / poly2sym(a, z);
pretty(vpa(H(z), 4));

其中，`poly2sym`函数用于将分子和分母多项式系数转化为符号多项式，`syms`函数用于定义符号变量，`vpa`函数用于控制输出精度。`H(z)`为系统传递函数式，`pretty`函数用于美化输出结果。

综上，完整代码如下：

% 滤波器阶数
N = 3;

% 通带最大衰减量（dB）
Ap = 1;

% 阻带最小衰减量（dB）
As = 20;

% 归一化截止频率
Wp = 0.2;
Ws = 0.3;

% 设计数字滤波器
[b, a] = cheby2(N, As, Ws);

% 绘制幅频特性和相频特性
[h, w] = freqz(b, a);
mag = abs(h);
phase = angle(h);
subplot(2, 1, 1);
plot(w/pi, mag);
title('Amplitude Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude (dB)');
subplot(2, 1, 2);
plot(w/pi, phase);
title('Phase Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Phase (rad)');

% 绘制零极点分布图
subplot(1, 1, 1);
zplane(b, a);
title('Pole-Zero Plot');

% 列出系统传递函数式
syms z;
H(z) = poly2sym(b, z) / poly2sym(a, z);
pretty(vpa(H(z), 4));

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