求yˊˊ＝3√y的通解

将 y' 表示为 dy/dx，同时对等式两边取导数，得到：

dy/dx = d/dx (3√y) = (3/2) * (1/√y) * dy/dx

将等式化简，得到：

dy/√y = (2/3) dx

对等式两边进行积分，得到：

2√y = (2/3) x + C

其中 C 为常数。将等式两边平方，得到：

y = [(1/9) x^2 + (2/3) C]^2

所以，yˊˊ＝3√y 的通解为 y = [(1/9) x^2 + (2/3) C]^2，其中 C 为任意常数。

相关问题

求yˊˊ+yˊtanx＝sin2x的通解

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程的问题，可以使用常数变易法来求解。首先求出其对应的齐次线性微分方程y''+y'tanx=0的通解：

设y=e^rx，则y'=re^rx，y''=r^2e^rx，代入原方程得到：

r^2e^rx+r(e^rx)tanx=0

r^2+tanx r=0

则有r=0或r=-tanx，因此齐次线性微分方程的通解为：

y=C1+C2e^(-∫tanxdx)

其中C1和C2为待定常数。

接下来求非齐次线性微分方程的一个特解，由于f(x)=sin2x是一个三角函数，因此可以猜测一个特解y*=Acos2x+Bsin2x，代入原方程得到：

y*''+y*'tanx=sin2x

-4Acos2x-4Bsin2x+(2A-2Btanx)sin2x=sin2x

令A=-1/2，B=0，则有：

y*=(-1/2)cos2x

因此原方程的通解为：

y=C1+C2e^(-∫tanxdx)-1/2cos2x

其中C1和C2为待定常数。

解微分方程yˊ+y=5

这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，我们需要求出对应的齐次方程的通解。齐次方程为 y' + y = 0，其特征方程为 r + 1 = 0，解得 r = -1。因此，齐次方程的通解为 yh = c1*e^(-x)，其中 c1 是任意常数。

接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解。根据常数变易法，我们假设特解为 y = u(x)*e^x，其中 u(x) 是待定函数。将这个形式的特解代入非齐次方程，得到：

u'(x)*e^x + u(x)*e^x = 5*e^x

化简得：

u'(x)*e^x = 5*e^x

解得：

u(x) = ∫(5*e^(-x))dx = -5*e^(-x) + c2

因此，非齐次方程的一个特解为 yp = (-5)*e^(-x) + c2，其中 c2 是任意常数。

最终的通解为 y = yh + yp = c1*e^(-x) + (-5)*e^(-x) + c2，其中 c1 和 c2 是任意常数。