求yˊˊ+yˊtanx＝sin2x的通解

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程的问题，可以使用常数变易法来求解。首先求出其对应的齐次线性微分方程y''+y'tanx=0的通解：

设y=e^rx，则y'=re^rx，y''=r^2e^rx，代入原方程得到：

r^2e^rx+r(e^rx)tanx=0

r^2+tanx r=0

则有r=0或r=-tanx，因此齐次线性微分方程的通解为：

y=C1+C2e^(-∫tanxdx)

其中C1和C2为待定常数。

接下来求非齐次线性微分方程的一个特解，由于f(x)=sin2x是一个三角函数，因此可以猜测一个特解y*=Acos2x+Bsin2x，代入原方程得到：

y*''+y*'tanx=sin2x

-4Acos2x-4Bsin2x+(2A-2Btanx)sin2x=sin2x

令A=-1/2，B=0，则有：

y*=(-1/2)cos2x

因此原方程的通解为：

y=C1+C2e^(-∫tanxdx)-1/2cos2x

其中C1和C2为待定常数。