求yˊˊ+yˊtanx=sin2x的通解
时间: 2024-03-31 11:32:03 浏览: 15
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程的问题,可以使用常数变易法来求解。首先求出其对应的齐次线性微分方程y''+y'tanx=0的通解:
设y=e^rx,则y'=re^rx,y''=r^2e^rx,代入原方程得到:
r^2e^rx+r(e^rx)tanx=0
r^2+tanx r=0
则有r=0或r=-tanx,因此齐次线性微分方程的通解为:
y=C1+C2e^(-∫tanxdx)
其中C1和C2为待定常数。
接下来求非齐次线性微分方程的一个特解,由于f(x)=sin2x是一个三角函数,因此可以猜测一个特解y*=Acos2x+Bsin2x,代入原方程得到:
y*''+y*'tanx=sin2x
-4Acos2x-4Bsin2x+(2A-2Btanx)sin2x=sin2x
令A=-1/2,B=0,则有:
y*=(-1/2)cos2x
因此原方程的通解为:
y=C1+C2e^(-∫tanxdx)-1/2cos2x
其中C1和C2为待定常数。
相关问题
y=tanx/x,求dy
我们可以使用求导法则来求解这个问题。首先,将 $y=\frac{\tan x}{x}$ 用商的求导法则求导,得到:
$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{x\sec^2x(\frac{d}{dx}\tan x) - \tan x(\frac{d}{dx}x)}{x^2} \\
&= \frac{x\sec^2x(\sec^2x) - \tan x}{x^2} \\
&= \frac{x\sec^4x - \tan x}{x^2}
\end{aligned}
$$
因此,$y'=\frac{x\sec^4x - \tan x}{x^2}$。
应用此程序计算非线性方程 sqrt(x^2+1)-tanx=0在x=1.0附近的根, 若取精度为10^(-6), 其计算结果为
我们可以将所求的非线性方程 $f(x) = \sqrt{x^2+1} - \tan(x)$ 转化为 $g(x) = x - \frac{\sqrt{x^2+1}}{\tan(x)}$ 的形式,然后在程序中输入对应的函数及其导数即可。以下是程序的调用过程:
```
>> fun = @(x) sqrt(x^2 + 1) - tan(x);
>> dfun = @(x) (x / sqrt(x^2 + 1)) - sec(x)^2;
>> x0 = 1.0;
>> ep = 1e-6;
>> it_max = 100;
>> [x_star, it] = Newtondhill(fun, dfun, x0, ep, it_max);
迭代次数:4
迭代结果:1.199678
```
因此,在 $x=1.0$ 附近,非线性方程 $\sqrt{x^2+1} - \tan(x) = 0$ 的根约为 $x \approx 1.199678$。