为治理湖水的污染,引入一条较清洁的河水,河水与湖水混合后又以同样的流量由另一条河排出。设湖水容积为V,河水单位时间流量为Q,河水的污染浓度为常数a,湖水的初始污染浓度为b。 (1)建立湖水污染浓度c随时间t变化的微分方程,并用matlab编程求解 (2)若测量出引入河水10天后湖水的污染浓度为0.9,40天后湖水的污染浓度为0.5,且河水的污染浓度a=0.1,问引入河水后多少天,湖水的污染浓度可以降到标准值0.2,用matlab编程求解 (3)若由于水的蒸发等原因湖水容积每天减少d,湖水污染浓度如何变化?建立模型并用matlab求解
时间: 2023-05-25 22:07:17 浏览: 544
(1) 微分方程建立过程:
当湖水的容积为V,引入的河水单位时间流量为Q时,单位时间内进入湖水的河水体积为Q,湖水中的污染物体积为Vc,则混合后的湖水污染物体积为Q+aQ-Vc,根据质量守恒原理,它们体积相等,即
Q+aQ-Vc = Vc-cd(t)Q
其中,cd表示湖水中污染物的分解速率常数(假设分解速率与湖水中的污染物体积成正比)。化简可得
d(cV)/dt = (a-b)Q - cdV
即
dc/dt = (a-b)/V Q - cd/V c
用MATLAB代码求解如下:
V = 100000; %湖水容积(m^3)
Q = 100; %河水流量(m^3/d)
a = 0.1; %河水污染浓度(mg/L)
b = 1; %湖水初始污染浓度(mg/L)
cd = 0.001; %湖水污染物的分解速率常数(1/d)
%定义时间间隔
t0 = 0;
tf = 100;
dt = 0.1;
tspan = t0:dt:tf;
%定义初始条件
c0 = b;
%定义微分方程
f = @(t,c) (a-b)/V*Q - cd/V*c;
%求解微分方程
[t,c] = ode45(f, tspan, c0);
%绘制图像
plot(t, c);
xlabel('时间(d)');
ylabel('湖水污染浓度(mg/L)');
title('湖水污染浓度随时间的变化');
(2) 湖水污染浓度降至标准值的时间求解过程:
设湖水污染浓度降至标准值0.2的时间为T,根据题目要求,在10天后湖水的污染浓度为0.9,40天后湖水的污染浓度为0.5,因此可以列出两个方程:
c(10) = 0.9
c(40) = 0.5
将c(t)带入微分方程得
dc/dt = (a-b)/V Q - cd/V c
化简得
dt = -V/cd V/c *dc/[(a-b)Q - cdVc]
将t从10到T或40到T积分得到时间间隔,将δt累加即可得到T。
用MATLAB代码求解如下:
V = 100000; %湖水容积(m^3)
Q = 100; %河水流量(m^3/d)
a = 0.1; %河水污染浓度(mg/L)
b = 1; %湖水初始污染浓度(mg/L)
cd = 0.001; %湖水污染物的分解速率常数(1/d)
%求解T
c = 0.2;
t1 = 10;
t2 = 40;
dt = 0.1;
%求解积分
delta_t = 0;
for c1 = [0.9 0.5]
f = @(t,c) -V/cd*V/c*c/((a-b)*Q-cd*V*c);
[t, c_t] = ode45(f, [t1 t2], c1);
for i = 2:length(t)
delta_t = delta_t + (t(i)-t(i-1))*(1./c_t(i)-1./c_t(i-1))/cd/V;
if abs(c_t(i)-c) < 1e-6
T = t(i);
break;
end
end
end
%输出结果
fprintf('湖水污染浓度降至0.2的时间为%.2f天。\n', T+delta_t);
(3) 考虑湖水容积每天减少的情况,将微分方程修改为
dc/dt = (a-b)/V Q - cd/V c - d/V c
用MATLAB代码求解如下:
V = 100000; %湖水容积(m^3)
V0 = V;
Q = 100; %河水流量(m^3/d)
a = 0.1; %河水污染浓度(mg/L)
b = 1; %湖水初始污染浓度(mg/L)
cd = 0.001; %湖水污染物的分解速率常数(1/d)
d = 1000; %湖水容积每天减少量(m^3/d)
%定义时间间隔
t0 = 0;
tf = 100;
dt = 0.1;
tspan = t0:dt:tf;
%定义初始条件
c0 = b;
%定义微分方程
f = @(t,c) (a-b)/V*Q - cd/V*c - d/V*c;
%求解微分方程
[t,c] = ode45(f, tspan, c0);
%绘制图像
plot(t, c);
xlabel('时间(d)');
ylabel('湖水污染浓度(mg/L)');
title('湖水污染浓度随时间的变化');
注:此处为方便,将湖水容积每天减少的量设为了常数,实际上应该根据湖水实际情况来确定其减少的速率。
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