A=【1 2 3 -3 -5 4 -5 9 1 】的cond(A,2):计算A的2—范数下的条件数
时间: 2023-12-09 22:04:27 浏览: 31
A的2-范数定义为$||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}$,其中$\lambda_{max}(A^TA)$表示$A^TA$的最大特征值。
A的条件数定义为$cond(A,2)=||A||_2||A^{-1}||_2$。
因此,我们需要先计算出A的逆矩阵,再计算它们的2-范数,最终求得条件数。
具体步骤如下:
1.计算$A^TA$的最大特征值$\lambda_{max}$
$$
A^TA = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & -3 & -5 & 4 & -5 & 9 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ -3 \\ -5 \\ 4 \\ -5 \\ 9 \\ 1
\end{bmatrix} = 140
$$
因此,$\lambda_{max}(A^TA)=140$。
2.计算$||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}=\sqrt{140}=11.83$
3.计算$A$的逆矩阵
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix}
0.027 & 0.063 & 0.078 & -0.081 & -0.184 & 0.041 & -0.191 & 0.218 & 0.049 \\
-0.144 & -0.277 & -0.341 & 0.306 & 0.613 & -0.154 & 0.618 & -0.671 & -0.170 \\
-0.022 & -0.050 & -0.058 & 0.054 & 0.127 & -0.030 & 0.128 & -0.141 & -0.034 \\
0.063 & 0.122 & 0.152 & -0.136 & -0.272 & 0.068 & -0.272 & 0.296 & 0.075 \\
0.058 & 0.109 & 0.132 & -0.117 & -0.232 & 0.058 & -0.235 & 0.256 & 0.064 \\
-0.056 & -0.102 & -0.124 & 0.110 & 0.216 & -0.055 & 0.216 & -0.236 & -0.057 \\
-0.078 & -0.151 & -0.186 & 0.166 & 0.332 & -0.082 & 0.331 & -0.360 & -0.090 \\
-0.039 & -0.073 & -0.090 & 0.080 & 0.159 & -0.040 & 0.159 & -0.174 & -0.044 \\
0.008 & 0.015 & 0.019 & -0.017 & -0.035 & 0.009 & -0.035 & 0.038 & 0.010
\end{bmatrix}
$$
4.计算$||A^{-1}||_2$
$$
||A^{-1}||_2=\sqrt{\lambda_{max}((A^{-1})^TA^{-1})}=\sqrt{1.102\times 10^{-5}}=0.00332
$$
5.计算条件数
$$
cond(A,2)=||A||_2||A^{-1}||_2=11.83\times0.00332=0.0393
$$
因此,$A$的2-范数下的条件数为0.0393。
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