用Mathematica演示量子力学中的波包演化

波包演化是量子力学中的一个重要现象，可以用Mathematica演示。以下是一些步骤：

1. 定义波包的形状和初始参数。波包可以用高斯函数表示，其初始位置和动量可以随意选择。

2. 定义哈密顿量。哈密顿量可以表示为动能和势能的和，可以根据具体情况进行定义。

3. 求解薛定谔方程。使用NDSolve函数可以求解一维或三维薛定谔方程，得到波函数的演化。

4. 可视化波函数演化。可以使用DensityPlot3D函数或ListAnimate函数来可视化波函数随时间的演化。

下面是一段Mathematica代码，可以演示一个自由粒子的波包演化：

(* 定义波包 *)
ψ0[x_] := Exp[-(x - 5)^2/2] Exp[I 2 π (x - 5)/10]

(* 定义哈密顿量 *)
H = -1/2 Laplacian[u[x, t], {x}] 

(* 求解薛定谔方程 *)
sol = NDSolve[{I D[u[x, t], t] == H u[x, t], u[x, 0] == ψ0[x]}, 
  u, {x, -10, 10}, {t, 0, 20}]

(* 可视化波函数演化 *)
frames = Table[
   DensityPlot[Abs[u[x, t]]^2, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, 
    ColorFunction -> "SunsetColors", PlotRange -> All, 
    PlotLabel -> t], {t, 0, 20, 0.1}];
ListAnimate[frames]

这段代码可以演示一个自由粒子的波包演化。可以看到，随着时间的推移，波包的形状会发生变化，但其总能量和总动量保持不变。