ADMM要解决的问题：W_out = z = min 1/2||x*alpha-y||_2^2+rho/2||beta||_2^2 % alpha=beta用matlab代码

ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）方法是一种求解带有约束条件的优化问题的方法。它可以用于求解如下形式的问题：

min f(x) + g(z)

s.t. Ax + Bz = c

其中，f(x)和g(z)是两个凸函数，x和z是优化变量，A、B和c是给定的常数矩阵和向量。

对于这个问题，我们可以将其转化为如下形式：

min 1/2||x*alpha-y||_2^2+rho/2||beta||_2^2

s.t. alpha=beta

其中，x和y是给定的矩阵和向量，alpha和beta是待求解的变量，rho是一个正常数。

ADMM算法的求解步骤如下：

1. 初始化变量alpha、beta和z为任意值

2. 重复执行以下步骤直到收敛：

a. 通过交替方向更新alpha和beta：

alpha = argmin 1/2||x*alpha-y||_2^2 + (rho/2)||alpha - z + beta||_2^2

beta = argmin (rho/2)||alpha - z + beta||_2^2

b. 更新z为 z = (x*alpha + rho*(beta - beta)) / (1+rho)

3. 返回最终的alpha和beta值

在matlab中，可以按照以下方式实现ADMM算法：

% 初始化变量
alpha = randn(size(x,2),1);
beta = randn(size(x,2),1);
z = randn(size(x,2),1);
rho = 1;

% 迭代次数
max_iter = 100;

% ADMM算法迭代
for iter = 1:max_iter
    % 更新alpha
    alpha = (x'*x + rho*eye(size(x,2))) \ (x'*y + rho*(z - beta));
    
    % 更新beta
    beta = soft_threshold(alpha + z, 1/rho);
    
    % 更新z
    z = (x*alpha + rho*(beta + beta)) / (1 + rho);
end

% 返回最终结果
W_out = alpha;

其中，soft_threshold函数可以用于求解带有L1正则化的问题，其实现方式如下：

function y = soft_threshold(x, lambda)
    y = sign(x) .* max(abs(x) - lambda, 0);
end