判断级数 ∑ � = 1 ∞ ln ⁡ � � 4 / 3 ∑ n=1 ∞ ​ n 4/3 lnn ​ 的敛散性

我们可以使用 Cauchy 科尔曼判别法来判断该级数的敛散性。

设 a_n = ln(n)/n^(4/3)，则有：

a_n+1 / a_n = ln(n+1)/(n+1)^(4/3) * n^(4/3) / ln(n)

由于：

lim(n→∞) ln(n+1) / ln(n) = 1

lim(n→∞) (n+1)^(4/3) / n^(4/3) = 1

所以：

lim(n→∞) a_n+1 / a_n = 1

因此，根据 Cauchy 科尔曼判别法，该级数与以下级数同敛散：

∑ n=1 ∞ 1/n

由于调和级数发散，所以原级数也发散。即：

∑ � = 1 ∞ ln ⁡ � � 4 / 3 ∑ n=1 ∞ ​ n 4/3 lnn

发散。

相关问题

帮我找资料证明n趋于无穷时，1+1/2+1/3+1/4+……+1/n＝lnn+γ

这个结论叫做调和级数的渐近展开式，其中γ≈0.5772156649是欧拉常数。

证明可以分为两步：

1. 首先，我们可以将和式转化为一个积分。具体来说，我们可以构造一个函数f(x)=1/x，然后对它在[1,n]上进行积分，得到

∫₁ⁿ(1/x)dx = ln(n)+C

其中C是一个常数。我们要求的就是C的值。

2. 为了确定C的值，我们可以利用极限的性质。具体来说，我们可以将和式拆分为两部分，一部分是1+1/2+1/3+1/4+…+1/n，另一部分是ln(n)+γ。我们知道，当n趋于无穷时，第一部分趋于无穷大，第二部分趋于无穷大，但是它们的比值趋于1。因此，我们可以用第二部分的极限值减去第一部分的极限值，得到C的值：

C = lim(n→∞)[ln(n)+γ-(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)]

这个极限值可以用数值积分或者其他方法计算出来，得到C≈0.5772156649。

综上所述，我们得到了调和级数的渐近展开式：

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n ≈ ln(n)+γ。

晶体 CH3D 中的残余熵S(0,m)为 ​ (2分) A Rln2 B Rln4 C (1/3) Rln2 D (1/2) Rln2

晶体CH3D中的残余熵S(0,m)由Einstein模型计算得到，其中每个分子有3个振动模式，因此总的振动模式数为3N，其中N为晶体中分子的数目。根据Einstein模型，每个振动模式的能量为hν，其中ν为振动频率。晶体中的每个振动模式的能量由hν/2分配给一个振动模式和hν/2分配给一个相应的声子模式。因此，每个振动模式对能量的贡献为kT，其中k为玻尔兹曼常数，T为温度。根据熵的定义，S(0,m) = klnΩ，其中Ω为晶体的量子态数。根据Boltzmann原理，Ω = (3N)! / [(N!)^3 × 3^N]。因此，S(0,m) = kln[(3N)! / ((N!)^3 × 3^N)]。根据Stirling公式，lnN! ≈ NlnN - N，当N足够大时，可以将N!近似为N^Nexp(-N)。将这个公式代入S(0,m)的表达式中，得到S(0,m) ≈ k[(3N)ln(3N) - 3N + Nln(N/3) - 2N]。将N用比例关系N = mN_A/m(CH3D)表示出来，得到S(0,m) ≈ k[mln(3N_A/m(CH3D)) + (3/2)ln(3) - (5/2)]。因此，选项 C (1/3)Rln2 是正确答案。