用 MATLAB 实现生成 10 阶多项式并使用不动点迭代法求出10个根

在MATLAB中，你可以通过以下步骤生成一个10阶多项式，并使用不动点迭代法来寻找其根：

首先，假设我们有一个10次多项式的系数向量，例如`coeffs = [a1 a2 ... a10]`，其中`a1`是最高次项的系数。

% 假设给定多项式系数
coeffs = [-1; % 举例，系数可以自行替换
         5, -6,
         4, -3, 2,
         -1, 0, -1, 1];

% 创建多项式函数 handle
polyFcn = @(x) polyval(coeffs, x);

接下来，我们将使用不动点迭代法（也称Banach迭代），这是一个通用的数值方法，用于找到非线性方程的解。对于多项式方程f(x) = 0，我们可以将f(x)表示成迭代公式x = g(x)，通常g(x)是一个近似解。

例如，对于高斯-赛德尔迭代法（一种不动点迭代的形式），我们选择g(x) = x - f(x)/f'(x)，但是由于多项式导数容易计算，我们可以直接用导数来简化迭代公式。

% 计算多项式的导数
derivativeFcn = @(x) diff(polyFcn, x);

% 设置初始猜测值和迭代次数
initialGuess = 1; % 这里可以设置任意初猜，如[0; zeros(9)] for 10维根
maxIterations = 1000;
tolerance = 1e-6;

% 定义不动点迭代函数
iterate = @(x) x - polyFcn(x)./derivativeFcn(x);

% 开始迭代
[x, ~] = fixedPoint(iterate, initialGuess, maxIterations, 'Tolerance', tolerance);

`fixedPoint`函数会返回收敛的根`x`。注意，不动点迭代不一定总是收敛，取决于多项式的特性以及初始猜测值。如果迭代未收敛，你可能需要调整迭代条件、初始值或尝试其他数值方法。