如何理解并计算向量空间的基和维度？请结合数学例子具体说明。

在高等代数的学习中，理解向量空间的基和维度对于掌握线性代数至关重要。基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们能够生成整个空间，并且任何空间中的向量都可以通过这组基向量的线性组合唯一表示。维度则是指基中向量的数量，它表征了向量空间的“大小”。

参考资源链接：[《北大版高等代数习题答案(PDF) 》1--9章](https://wenku.csdn.net/doc/s58xz0u6r1?spm=1055.2569.3001.10343)

要确定一个向量空间的基和维度，首先要找出一组生成该空间的向量集合，然后通过线性相关性的判断来剔除线性相关的向量，最终保留下来的线性无关的向量集合即为基。例如，考虑向量空间V，它由向量组{v1, v2, v3}生成，其中v1 = (1, 0, 0)，v2 = (0, 1, 0)，v3 = (1, 1, 0)。通过解线性方程组来检验这些向量是否线性无关，可以发现v3可以用v1和v2线性表示，即v3 = v1 + v2。因此，{v1, v2}就是V的一个基，而V的维度是2。

在实际操作中，可以使用高斯消元法等方法来检验向量组的线性相关性，并进一步确定基和维度。例如，考虑向量组{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 1, 2)}，通过高斯消元法，可以发现第二个向量是第一个向量的两倍，第三个向量是第一个向量的两倍减去第二个向量，因此这个向量组是线性相关的。剔除线性相关的向量后，我们可以得到{v1 = (1, 2, 3)}作为基，而向量空间的维度是1。

针对上述问题和方法，如果需要深入理解向量空间的基和维度，以及如何应用这些概念解决更复杂的问题，强烈推荐参考《北大版高等代数习题答案(PDF) 1--9章》。这份资料提供了丰富的习题和详细的答案，能够帮助学生从多角度掌握基和维度的计算方法，并通过习题加深理解。

参考资源链接：[《北大版高等代数习题答案(PDF) 》1--9章](https://wenku.csdn.net/doc/s58xz0u6r1?spm=1055.2569.3001.10343)