动态规划最优组合的 SQL实现

动态规划最优组合问题通常可以用 SQL 实现。下面是一个示例，以求解最长公共子序列问题为例：

假设有两个字符串 s1 和 s2，我们要找到它们的最长公共子序列。我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 s1 中前 i 个字符和 s2 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度。那么 dp[i][j] 可以通过以下方式计算：

- 当 s1[i] == s2[j] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
- 当 s1[i] != s2[j] 时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

最终的答案就是 dp[len(s1)][len(s2)]，其中 len(s1) 和 len(s2) 分别表示 s1 和 s2 的长度。

下面是一个 SQL 实现的示例：

WITH RECURSIVE dp(i, j, lcs_length) AS (
  VALUES (0, 0, 0)
  UNION ALL
  SELECT i+1, j+1, lcs_length+1
    FROM dp
   WHERE i < LENGTH(s1) AND j < LENGTH(s2)
     AND SUBSTR(s1, i+1, 1) = SUBSTR(s2, j+1, 1)
  UNION ALL
  SELECT i+1, j, MAX(lcs_length)
    FROM dp
   WHERE i < LENGTH(s1)
     AND NOT EXISTS (SELECT 1
                       FROM dp
                      WHERE i+1 = dp.i AND j+1 = dp.j)
  UNION ALL
  SELECT i, j+1, MAX(lcs_length)
    FROM dp
   WHERE j < LENGTH(s2)
     AND NOT EXISTS (SELECT 1
                       FROM dp
                      WHERE i+1 = dp.i AND j+1 = dp.j)
)
SELECT MAX(lcs_length) AS length
  FROM dp
 WHERE i = LENGTH(s1) AND j = LENGTH(s2);

这个 SQL 语句使用了递归公共表达式 (WITH RECURSIVE) 来实现动态规划。具体来说，它定义了一个 dp 表，其中每一行都表示 s1 中前 i 个字符和 s2 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度。初始时，dp 表只有一行，对应 s1 和 s2 都为空字符串的情况。然后，它通过递归地计算 dp 表中的所有可能的项来求解最长公共子序列的长度。最终，它返回 dp 表中最后一行的 lcs_length 的最大值作为答案。