负二项分布的方差与期望并证明

负二项分布可以看作是进行了固定次数的 Bernoulli 试验，直到出现固定次数的成功为止。设这个成功次数为 r，成功概率为 p，失败概率为 1-p，试验次数为 X，则 X 的概率质量函数为：

P(X=k) = C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)

其中，C(k-1,r-1)是组合数，表示在 k-1 个 Bernoulli 试验中，成功了 r-1 次的方式数。

首先，我们来证明期望 E(X) = r/p。根据期望的定义，有：

E(X) = ∑(k=r到∞) k * P(X=k)
= ∑(k=r到∞) k * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) / (1-p)
= r * p / (1-p)

接下来，我们来证明方差 Var(X) = r(1-p)/p^2。根据方差的定义，有：

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

对于 E(X^2)，我们有：

E(X^2) = ∑(k=r到∞) k^2 * P(X=k)
= ∑(k=r到∞) k^2 * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * ∑(k=r到∞) k * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) / (1-p)
+ r^2 * ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(k-1) * (1-p)^(k-r)]
+ r^2 * [1-p]/p

对于 [E(X)]^2，我们有：

[E(X)]^2 = [r * p / (1-p)]^2 = r^2 * p^2 / (1-p)^2

因此，有：

Var(X) = r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(k-1) * (1-p)^(k-r)]
+ r^2 * [1-p]/p - r^2 * p^2 / (1-p)^2
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(k-1) * (1-p)^(k-r)]
- r^2 * p / (1-p)
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(k-1) * (1-p)^(k-r) - r]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * ∑(k=r+1到∞) C(k-1,r-1) * p^(k-1) * (1-p)^(k-r) + ∑(k=r+1到∞) C(k-1,r-1) * (k-r) * p^(k-1) * (1-p)^(k-r)]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * p / (1-p) + 1/p * ∑(k=r+1到∞) C(k-1,r-1) * (k-r) * p^k * (1-p)^(-r)]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * p / (1-p) + 1/p * ∑(k=0到∞) C(k+r-1,r-1) * k * p^(k+r) * (1-p)^(-r)]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * p / (1-p) + 1/p * [r*2^(r-1) * (1-p)^(-r) + (1-p)^(-r) * ∂/∂p ∑(k=0到∞) C(k+r,r) * p^(k+r)]]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * p / (1-p) + 1/p * [r*2^(r-1) * (1-p)^(-r) + (1-p)^(-r) * ∂/∂p [(1+p)^r-1]]]
= r * p / (1-p) * [r*2^(r-2) * (1-p)^(1-r) + r * p / (1-p) + r*(1-p)/p^2]
= r*(1-p)/p^2