负二项分布的方差与期望证明

负二项分布是一种离散概率分布，描述了在一系列独立的 Bernoulli 试验中，成功次数为固定值 r 时，失败次数的概率分布。设 X 是负二项分布，成功概率为 p，失败概率为 1-p，则 X 的概率质量函数为：

P(X=k)=C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)

其中，C(k-1,r-1)是组合数，表示在 k-1 个 Bernoulli 试验中，成功了 r-1 次的方式数。

首先，我们来证明期望 E(X) = r/p。根据期望的定义，有：

E(X) = ∑(k=1到∞) k * P(X=k)
= ∑(k=r到∞) k * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) + ∑(k=r+1到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)

对于第一项，我们可以将 C(k-1,r-1) 展开为 (k-1)!/[(r-1)!(k-r)!]，得到：

∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= ∑(k=r到∞) [(k-1)!/[(r-1)!(k-r)!]] * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * ∑(k=r到∞) [(k-1)!/[(r-1)!(k-r+1)!]] * p^r * (1-p)^(k-r+1)
= r * p * ∑(k=r-1到∞) [(k)!/[(r-1)!(k-r+1)!]] * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
= r * p * ∑(k=r-1到∞) C(k-1,r-2) * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
= r * p * 1 （根据二项式定理，∑(k=0到∞) C(k,r-1) * x^k = (1+x)^r-1）
= r/p

对于第二项，我们可以将 C(k-1,r-1) 展开为 (k-1)!/[(r-1)!(k-r)!]，得到：

∑(k=r+1到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= ∑(k=r+1到∞) [(k-1)!/[(r-1)!(k-r)!]] * p^r * (1-p)^(k-r)
= p^r * (1-p) * ∑(k=r到∞) [(k)!/[(r-1)!(k-r)!]] * p^(r-1) * (1-p)^(k-r)
= p^r * (1-p) * ∑(k=r到∞) C(k,r-1) * p^(r-1) * (1-p)^(k-r)
= r * (1-p)/p

因此，E(X) = r/p + r * (1-p)/p = r/p。

接下来，我们来证明方差 Var(X) = r(1-p)/p^2。根据方差的定义，有：

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
= ∑(k=1到∞) k^2 * P(X=k) - [r/p]^2
= ∑(k=r到∞) k^2 * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r) - [r/p]^2

对于第一项，我们可以将 k^2 * C(k-1,r-1) 展开为 [(k-1)!/(r-1)!(k-r)!] * k * [(k-1)+(r-1)]，得到：

∑(k=r到∞) k^2 * C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= ∑(k=r到∞) [(k-1)!/(r-1)!(k-r)!] * k * [(k-1)+(r-1)] * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p * ∑(k=r到∞) [(k)!/(r-1)!(k-r+1)!] * [(k-1)+(r-1)] * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
+ r^2 * ∑(k=r+1到∞) [(k-1)!/(r-1)!(k-r)!] * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p * ∑(k=r-1到∞) [(k)!/(r-1)!(k-r+1)!] * k * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
+ r^2 * ∑(k=r到∞) [(k-1)!/(r-1)!(k-r)!] * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p * ∑(k=r-1到∞) C(k-1,r-2) * (k-r+1+r-1) * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
+ r^2 * ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p * ∑(k=r-1到∞) [C(k,r-1)-C(k-1,r-2)] * k * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)
+ r^2 * ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
= r * p * [r*2^(r-2)*(1-p)^(r-1) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)]
+ r^2 * [1-p]/p

对于第二项，我们可以利用 E(X) = r/p，得到：

[r/p]^2 = r^2/p^2

综上所述，有：

Var(X) = r/p * [r*2^(r-2)*(1-p)^(r-1) + ∑(k=r到∞) C(k-1,r-1) * k * p^(r-1) * (1-p)^(k-r+1)]
+ r^2 * [1-p]/p - r^2/p^2
= r(1-p)/p^2