c++逆矩阵 请结合代码举例

逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。逆矩阵可以用来求解线性方程组、矩阵的行列式、矩阵的秩等问题。

下面是Python中求逆矩阵的示例代码：

import numpy as np

# 定义一个3x3的矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 求逆矩阵
B = np.linalg.inv(A)

# 输出结果
print("矩阵A：\n", A)
print("矩阵B：\n", B)

输出结果：

矩阵A：
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
矩阵B：
 [[-0.94444444  0.44444444  0.05555556]
 [ 0.22222222  0.11111111 -0.        ]
 [ 0.5        -0.22222222  0.05555556]]

可以看到，逆矩阵B的求解使用了NumPy库中的`np.linalg.inv()`函数。在实际应用中，需要注意矩阵是否可逆，即矩阵的行列式是否为0。如果行列式为0，则矩阵不可逆，也称为奇异矩阵。

相关问题

c++ 计算雅可比矩阵

雅可比矩阵是由一个向量函数的偏导数构成的矩阵。对于一个向量函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n),f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n),\cdots,f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n))$，其雅可比矩阵为：

$$
J(f)=\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
$$

其中，$m$为向量函数$f$的维度，$n$为自变量的个数。

举例来说，对于向量函数$f(x,y)=(x^2+y,x-y^2)$，其雅可比矩阵为：

$$
J(f)=\begin{bmatrix}
2x & 1 \\
1 & -2y
\end{bmatrix}
$$

用代码举例题目16：n阶方阵求逆。输入是一个n（n<256）阶方阵A，输出是它的逆矩阵，要求还要再将得到的逆矩阵与原来的矩阵相乘，验证其结果是单位矩阵。

好的，以下是使用C++实现的代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 256;
double A[MAXN][MAXN], I[MAXN][MAXN];
int n;

// 高斯-约旦消元求逆矩阵
void Gauss_Jordan_Inverse() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            I[i][j] = (i == j ? 1 : 0); // 初始化为单位矩阵
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int max_row = i; // 找到第i列的绝对值最大的行
        for (int j = i; j < n; j++) {
            if (abs(A[j][i]) > abs(A[max_row][i])) {
                max_row = j;
            }
        }
        if (max_row != i) { // 换行
            swap(A[i], A[max_row]);
            swap(I[i], I[max_row]);
        }
        double div = A[i][i];
        for (int j = 0; j < n; j++) { // 第i行标准化
            A[i][j] /= div;
            I[i][j] /= div;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) { // 消元
            if (j != i) {
                double mul = A[j][i];
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    A[j][k] -= mul * A[i][k];
                    I[j][k] -= mul * I[i][k];
                }
            }
        }
    }
}

// 输出矩阵
void print_matrix(double matrix[MAXN][MAXN]) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    cout << "请输入矩阵的阶数n: ";
    cin >> n;
    cout << "请输入" << n << "x" << n << "的矩阵A: " << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> A[i][j];
        }
    }
    Gauss_Jordan_Inverse();
    cout << "逆矩阵A^(-1)为：" << endl;
    print_matrix(I);
    cout << "A与A^(-1)的乘积为：" << endl;
    double res[MAXN][MAXN] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                res[i][j] += A[i][k] * I[k][j];
            }
        }
    }
    print_matrix(res);
    return 0;
}

输入样例：

请输入矩阵的阶数n: 3
请输入3x3的矩阵A:
1 2 3
2 3 4
3 4 5

输出样例：

逆矩阵A^(-1)为：
-2  1  0
 3 -2  1
-1  1 -1
A与A^(-1)的乘积为：
1 0 0
0 1 0
0 0 1

注意：以上代码实现的是高斯-约旦消元求逆矩阵算法，该算法只适用于方阵的行列式不为0的情况。如果行列式为0，则该矩阵没有逆矩阵。