C++ 实现最小二乘拟合三次曲面

在C++中，最小二乘法是一种常见的统计学优化技术，用于拟合数据点到数学函数上，特别是在三维空间中。对于三次曲线拟合，我们通常会用到多项式形式，比如泰勒级数展开的三次函数：

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

其中a、b、c和d是待求的最佳系数，使得该三次函数在给定的数据点上误差平方和最小。

以下是简化的步骤和伪代码：

1. 定义一个三次多项式类，包含四个私有变量表示系数。
2. 使用矩阵运算，将数据点和对应的y值转换成设计矩阵的形式。
3. 设置初始猜测的系数值（例如为0）。
4. 构造目标函数，通常是残差平方和（RSS），即每个预测值与真实值之间的平方和。
5. 使用梯度下降或更高级的数值优化算法（如Levenberg-Marquardt算法）迭代更新系数，直到满足停止条件（如达到一定的精度或迭代次数）。
6. 返回最优的系数作为拟合结果。

class CubicSpline {
private:
    double a, b, c, d;
public:
    // 初始化方法，设置初始系数
    CubicSpline() : a(0), b(0), c(0), d(0) {}

    // 拟合函数，接受数据点集合并返回拟合结果
    void fit(std::vector<std::pair<double, double>>& data) {
        // 省略矩阵操作和优化算法的具体实现
        // 可能需要计算雅可比矩阵及其逆等
    }

    // 计算函数值
    double evaluate(double x) const {
        return a * x*x*x + b * x*x + c * x + d;
    }
};

// 示例使用
CubicSpline spline;
spline.fit(yourDataPoints); // 假设yourDataPoints是一个x-y坐标对的向量
double y_fit = spline.evaluate(x_value);