二维麦克斯韦方程组CNDG-FDTD方法的数值解误差并显示收敛精度阶数matlab

### 回答1：
二维麦克斯韦方程组可以写成以下形式：

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0
\end{aligned}
$$

其中，$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 分别是电场和磁场，$\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{B}$ 分别是电位移和磁感应强度，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf{J}$ 是电流密度。

CNDG-FDTD 方法是将中心差分（CNDG）和有限差分时域方法（FDTD）结合起来的一种方法。它的基本思想是将电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{H}$ 分别用中心差分的方法进行离散化，然后用有限差分时域方法进行时间推进。具体来说，我们可以将 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 在离散时间 $n\Delta t$ 和空间点 $(i,j)$ 处的值分别表示为 $E_{i,j}^n$ 和 $H_{i,j}^n$，则有以下离散化方程：

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\frac{B_{i,j}^{n+1/2} - B_{i,j}^{n-1/2}}{\Delta t} &= -\frac{E_{i,j}^n - E_{i,j}^{n-1}}{\Delta t} \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \\
\frac{D_{i,j}^{n+1} - D_{i,j}^n}{\Delta t} &= \frac{\rho_{i,j}^n}{\epsilon_0} \\
\frac{H_{i,j}^{n+1} - H_{i,j}^n}{\Delta t} &= \frac{1}{\mu_0}\left(\frac{D_{i,j+1/2}^{n+1/2} - D_{i,j-1/2}^{n+1/2}}{\Delta x} - \frac{D_{i+1/2,j}^{n+1/2} - D_{i-1/2,j}^{n+1/2}}{\Delta y}\right) \\
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \\
\frac{D_{i,j}^{n+1} - D_{i,j}^n}{\Delta t} &= \rho_{i,j}^n \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\end{aligned}
$$

其中，$\Delta t$ 和 $\Delta x$ 分别是时间和空间的离散化步长，$\epsilon_0$ 和 $\mu_0$ 分别是真空中的介电常数和磁导率。

将上面的方程组中的时间 $n$ 替换为 $n+1$，并整理得到：

$$
\begin{aligned}
B_{i,j}^{n+1/2} &= B_{i,j}^{n-1/2} - \frac{\Delta t}{\mu_0}\left(\frac{D_{i,j+1/2}^{n} - D_{i,j-1/2}^{n}}{\Delta x} - \frac{D_{i+1/2,j}^{n} - D_{i-1/2,j}^{n}}{\Delta y}\right) \\
D_{i,j}^{n+1} &= D_{i,j}^n + \frac{\Delta t}{\epsilon_0}\rho_{i,j}^n \\
H_{i,j}^{n+1} &= H_{i,j}^n + \frac{\Delta t}{\mu_0}\left(\frac{D_{i,j+1/2}^{n+1/2} - D_{i,j-1/2}^{n+1/2}}{\Delta x} - \frac{D_{i+1/2,j}^{n+1/2} - D_{i-1/2,j}^{n+1/2}}{\Delta y}\right) \\
D_{i,j}^{n+1} &= D_{i,j}^n + \frac{\Delta t}{\epsilon_0}\rho_{i,j}^n
\end{aligned}
$$

这样，我们就可以用 CNDG-FDTD 方法来数值求解二维麦克斯韦方程组了。

至于数值解误差和收敛精度阶数的计算，可以先将空间步长 $\Delta x$ 和时间步长 $\Delta t$ 分别缩小一定的倍数，然后计算出不同网格大小下的数值解和精确解之间的误差。根据误差和网格大小之间的关系，可以计算出该方法的收敛精度阶数。具体来说，设 $\epsilon$ 是数值解和精确解之间的误差，$h$ 是网格大小，则有以下关系式：

$$
\epsilon = Ch^p
$$

其中，$C$ 是一个常数，$p$ 是收敛精度阶数。我们可以取不同的网格大小 $h$，计算出相应的误差 $\epsilon$，然后用线性回归的方法求解出 $p$ 的值。在 matlab 中，可以使用 polyfit 函数来进行线性回归。

### 回答2：
CNDG-FDTD方法是一种求解二维麦克斯韦方程组的数值方法，它结合了传统的中心差分格式（CNDG）和时域有限差分法（FDTD）。该方法的误差产生主要包括离散化误差和数值解近似误差。

离散化误差是由于将连续的麦克斯韦方程组离散化为有限差分格式所带来的。当离散化步长减小时，离散化误差也会减小。通过逐步减小离散化步长并观察数值解的变化，可以得出数值解的误差。

数值解近似误差是由于使用数值方法求解而引入的。它取决于数值格式的稳定性和精确度。对于CNDG-FDTD方法，我们可以通过逐步增加计算网格的数量，从而减小数值解的近似误差。

为了显示CNDG-FDTD方法的收敛精度阶数，我们可以利用Matlab编程来进行计算和分析。具体步骤如下：

1. 定义计算区域和边界条件。
2. 利用CNDG-FDTD方法求解二维麦克斯韦方程组，得到数值解。
3. 逐步减小离散化步长（网格数量），重复步骤2，得到一系列数值解。
4. 计算每个离散化步长下的数值解与真实解（如果可获得）之间的误差。
5. 通过线性回归分析，找到最小二乘法拟合的直线，从而得到收敛精度阶数。
6. 在Matlab中绘制误差与离散化步长的对数坐标图，并标注拟合直线和收敛精度阶数。

通过以上步骤，我们可以获得CNDG-FDTD方法的数值解误差并显示收敛精度阶数。这样可以帮助我们评估方法的数值稳定性和精确度，并确定最佳的离散化步长。