用中心差分格式写出一维对流扩散方程的matlab代码

假设对流扩散方程为:

$$
\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$

其中，$u(x,t)$为待求解的函数，$a$为对流速度，$D$为扩散系数。

使用中心差分格式进行离散化，得到：

$$
\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} + a\frac{u_{i+1}^n - u_{i-1}^n}{2\Delta x} = D\frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}
$$

其中，$u_i^n$表示在位置$x_i$和时间$t_n$处的函数值。将上式整理可得：

$$
u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) + \frac{D\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n)
$$

根据上式可以写出一维对流扩散方程的matlab代码，代码如下：

% 设置计算参数
L = 1;              % 计算区间长度
T = 1;              % 计算时间范围
a = 1;              % 对流速度
D = 0.01;           % 扩散系数
dx = 0.01;          % 空间步长
dt = 0.0001;        % 时间步长
x = 0:dx:L;         % 离散化空间坐标
t = 0:dt:T;         % 离散化时间坐标
nx = length(x);     % 离散化空间点数
nt = length(t);     % 离散化时间点数

% 初始化计算区域
u = zeros(nx, nt);  % 空间-时间矩阵
u(:, 1) = exp(-100*(x-0.5).^2);     % 初始条件

% 进行计算
for n = 1:nt-1
    for i = 2:nx-1
        u(i, n+1) = u(i, n) - a*dt/(2*dx)*(u(i+1, n) - u(i-1, n)) ...
                    + D*dt/dx^2*(u(i+1, n) - 2*u(i, n) + u(i-1, n));
    end
end

% 绘制计算结果
figure
surf(x, t, u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u(x,t)')

在以上代码中，使用了一个高斯分布作为初始条件，通过循环计算得到了在时间和空间上的函数值，最后使用surf函数绘制了计算结果。