单位向量极其转置的乘积矩阵形式

如果一个列向量 $\mathbf{u}$ 是单位向量（即 $\|\mathbf{u}\|=1$），那么 $\mathbf{u}$ 的转置 $\mathbf{u}^\top$ 是一个行向量。单位向量极其转置的乘积矩阵形式为 $\mathbf{u}\mathbf{u}^\top$，它是一个 $n\times n$ 的矩阵，其中 $n$ 是 $\mathbf{u}$ 的维度。这个矩阵的对角线上元素为1，其他元素为0，是一个特殊的矩阵，也称为投影矩阵。

相关问题

如何用矩阵和转置的乘积求特征值

设一个矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{v}$。则有：

$$
A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
$$

两边同时左乘 $\boldsymbol{v}^T$，得到：

$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}
$$

由于 $\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}$ 是一个标量，所以其转置等于其本身，即：

$$
(\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v})^T = \boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}
$$

因此，我们可以将上述式子变形为：

$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v} = \lambda ||\boldsymbol{v}||^2
$$

其中 $||\boldsymbol{v}||^2 = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}$ 表示向量 $\boldsymbol{v}$ 的模长的平方。由于 $\boldsymbol{v}$ 是非零向量，所以 $||\boldsymbol{v}||^2 > 0$。因此，我们可以得到：

$$
\lambda = \frac{\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{v}||^2}
$$

这个式子告诉我们，一个矩阵 $A$ 的特征值可以通过将其与一个特征向量相乘，再除以该特征向量的模长的平方来求得。而这个计算过程可以通过矩阵和转置的乘积来实现。具体地，设 $\boldsymbol{v}$ 是 $A$ 的一个特征向量，我们可以先计算 $A\boldsymbol{v}$，然后再计算 $\boldsymbol{v}^T (A\boldsymbol{v})$，最后将其除以 $||\boldsymbol{v}||^2$ 即可求得特征值 $\lambda$。

一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹

这个结论并不成立。事实上，一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的转置的迹。

设行向量为 $\mathbf{a}$，列向量为 $\mathbf{b}$，则它们的乘积为 $\mathbf{a} \mathbf{b}$，结果是一个 $1 \times 1$ 的矩阵，即一个标量。而列向量与行向量的乘积为 $\mathbf{b} \mathbf{a}$，结果是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中 $n$ 是向量的维度。因此，它们的转置分别为 $\mathbf{b} \mathbf{a}^\top$ 和 $\mathbf{a}^\top \mathbf{b}$，它们的迹分别为 $\mathrm{tr}(\mathbf{b} \mathbf{a}^\top)$ 和 $\mathrm{tr}(\mathbf{a}^\top \mathbf{b})$。

根据矩阵乘法和迹的定义，我们有：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{tr}(\mathbf{b} \mathbf{a}^\top) &= \mathrm{tr}(\mathbf{a}^\top \mathbf{b}) \\
&= \sum_{i=1}^n (\mathbf{a}^\top \mathbf{b})_{ii} \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j [\mathbf{e}_i]_j [\mathbf{e}_j]_i \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j \delta_{ij} \\
&= \sum_{i=1}^n a_i b_i \\
&= \mathbf{a} \mathbf{b}.
\end{aligned}
$$

因此，一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的转置的迹，而不是直接等于列向量与行向量乘积的迹。