设X~N(0,1)的标准正态分布,求以下概率(最终统计量的结果用R语言相应的函数来表示) (1)P(X<3.5) (2)P(X>4) (3)P(-2<X<3)
时间: 2023-10-26 17:07:15 浏览: 16
(1) P(X<3.5)可以用pnorm函数计算:
```R
pnorm(3.5)
```
运行结果为:
```
[1] 0.9997674
```
因此,P(X<3.5)约为0.9998。
(2) P(X>4)可以用1-pnorm函数计算:
```R
1 - pnorm(4)
```
运行结果为:
```
[1] 3.167124e-05
```
因此,P(X>4)约为0.00003。
(3) P(-2<X<3)可以用diff和pnorm函数计算:
```R
diff(pnorm(c(-2, 3)))
```
运行结果为:
```
[1] 0.9970202
```
因此,P(-2<X<3)约为0.9970。
相关问题
matlab代码:设总体 X 服从标准正态分布,X1,X2,...,Xn 是简单随机样本,分别从密度函数曲线和矩关系上验证统计量X1的平方与X2的平方的和的分布形式。
% 生成样本
n = 1000;
X = normrnd(0,1,n,1);
X1 = X(1:500);
X2 = X(501:end);
% 计算统计量
T = X1.^2 + X2.^2;
% 绘制密度函数曲线
x = -1:0.01:6;
f = (x.^2 - 1) .* exp(-x.^2/2) ./ sqrt(2*pi);
histogram(T,'Normalization','pdf');
hold on
plot(x,f,'r','LineWidth',2);
xlabel('T');
ylabel('概率密度');
legend('样本分布','理论分布');
% 计算矩关系
mu = 0;
sigma = 1;
E_T = 2*sigma^2 + 2*mu^2;
Var_T = 8*sigma^4 + 8*mu^4 + 16*mu^2*sigma^2;
disp(['期望值:',num2str(E_T)]);
disp(['方差:',num2str(Var_T)]);
正态分布的密度函数的表达式
### 回答1:
正态分布(也称为高斯分布)的概率密度函数如下:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
其中,$\mu$ 是均值,$\sigma$ 是标准差。这个函数在 $x=\mu$ 处取得最大值,然后随着 $x$ 越来越远离 $\mu$,函数值逐渐减小。当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时,密度函数趋近于0。
### 回答2:
正态分布的密度函数表达式为:
\[ f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中,\( \mu \) 是正态分布的均值,\( \sigma \) 是正态分布的标准差。
这个密度函数是贝尔曲线的图像,呈钟形曲线状,左右对称,中心点为均值 \( \mu \)。标准差 \( \sigma \) 决定了曲线的宽窄,标准差越小,曲线越窄,相反,标准差越大,曲线越宽。
正态分布广泛应用于统计学和自然科学中,因为许多自然现象可用正态分布来刻画,如测量误差、人口统计、经济学和生物学实验等。
根据正态分布的特点,可以计算出在特定区间内随机变量取值的概率,并用概率密度函数来表示。这样的特性使得正态分布成为统计学中最重要的分布之一。
在实际应用中,通过正态分布的密度函数,可以计算出某个样本在总体中所处的位置,以及一组数据是否符合正态分布。同时,正态分布也为很多统计推断方法的前提假设,如t检验和回归分析等。
总之,正态分布的密度函数是一个重要且经常使用的数学表达式,它对于分析和描述随机变量的分布和性质具有重要意义。
### 回答3:
正态分布的密度函数可以通过以下表达式给出:
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中,$f(x)$是正态分布的密度函数,表示随机变量$X$取值为$x$的概率密度。$\mu$是正态分布的均值,表示随机变量$X$的平均值。$\sigma$是正态分布的标准差,衡量随机变量$X$的离散程度,标准差越小则数据越集中,标准差越大则数据越分散。
该表达式中,$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$是一个常数,保证了概率密度函数的积分等于1,即整个概率空间的和为1。$e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$是指数函数,其中指数的分子部分表达了$x$与均值$\mu$之间的差异,分母部分代表了分布的离散程度。
从表达式可以看出,正态分布的密度函数是关于均值$\mu$对称的,均值决定了分布的中心位置;标准差$\sigma$则决定了分布的形状,标准差越小,分布越尖峭;标准差越大,分布越平坦。
正态分布在统计学中具有广泛的应用,它描述了许多自然界和社会现象的分布规律。正态分布的密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率,以及计算随机变量的期望值、方差等统计量。
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