Gram-Schmidt正交化过程

Gram-Schmidt正交化过程是一种将一组线性无关的向量转换成一组标准正交向量的算法。

具体步骤如下：

设 $V=\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_n}\}$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $E^n$ 中的一组基。

令 $\boldsymbol{u_1}=\boldsymbol{v_1}$。

对于 $i=2,3,\cdots,n$，定义

$$\boldsymbol{u_i}=\boldsymbol{v_i}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\langle \boldsymbol{v_i},\boldsymbol{u_j}\rangle}{\langle \boldsymbol{u_j},\boldsymbol{u_j}\rangle}\boldsymbol{u_j}$$

其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示内积。这一步将 $\boldsymbol{v_i}$ 投影到与前面的 $\boldsymbol{u_j}$ 垂直的平面上，并将其减去，得到新的向量 $\boldsymbol{u_i}$。

最后，对每个 $\boldsymbol{u_i}$ 进行标准化，即

$$\boldsymbol{e_i}=\frac{\boldsymbol{u_i}}{\|\boldsymbol{u_i}\|}$$

此时，$\{\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\cdots,\boldsymbol{e_n}\}$ 就是一组标准正交基。