对多元复高斯分布求负对数似然函数有什么用

对多元复高斯分布求负对数似然函数的目的是为了进行最大似然估计。最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化似然函数来估计模型参数。在多元复高斯分布中，负对数似然函数是一个凸函数，可以使用优化算法来最小化该函数，从而得到最大似然估计的参数值。

此外，对多元复高斯分布求负对数似然函数也可以用于模型选择和比较。通过比较不同模型的负对数似然函数值，可以确定哪个模型更能够解释数据。

相关问题

多元高斯分布的方差最大似然估计的公式推导

多元高斯分布是指多维随机变量的联合概率密度函数服从高斯分布，通常用以下公式表示：

$$
p(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right)
$$

其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个 $d$ 维的向量，$\boldsymbol{\mu}$ 是一个 $d$ 维的均值向量，$\boldsymbol{\Sigma}$ 是一个 $d \times d$ 的协方差矩阵。

我们的目标是要通过样本数据来估计参数 $\boldsymbol{\mu}$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的值。根据最大似然估计的原理，我们需要找到一组参数 $\boldsymbol{\mu}_{ML}$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}_{ML}$，使得样本数据在这组参数下出现的概率最大。

首先，我们考虑均值 $\boldsymbol{\mu}$ 的最大似然估计。假设我们有 $N$ 个样本数据 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_N$，我们的目标是最大化这些样本数据在多元高斯分布下的联合概率密度函数。可以写成如下形式：

$$
\begin{aligned}
L(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) &= \prod_{n=1}^N p(\boldsymbol{x}_n) \\
&= \prod_{n=1}^N \frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu})\right) \\
&= \frac{1}{(2\pi)^{Nd/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{N/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N(\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}_n-\boldsymbol{\mu})\right)
\end{aligned}
$$

对上式取对数，并对 $\boldsymbol{\mu}$ 求偏导数，并令其等于零，可以得到如下的最大似然估计：

$$
\boldsymbol{\mu}_{ML} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \boldsymbol{x}_n
$$

接下来，我们考虑协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的最大似然估计。同样地，我们要找到一组参数 $\boldsymbol{\Sigma}_{ML}$，使得样本数据在这组参数下出现的概率最大。同样地，我们对样本数据的联合概率密度函数取对数，然后对 $\boldsymbol{\Sigma}$ 求偏导数，并令其等于零，可以得到如下的最大似然估计：

$$
\boldsymbol{\Sigma}_{ML} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N (\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu}_{ML})(\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu}_{ML})^T
$$

这个结果表明，协方差矩阵的最大似然估计可以通过样本数据的协方差矩阵来计算。如果我们假设样本数据是独立同分布的，则上述公式可以进一步简化为：

$$
\boldsymbol{\Sigma}_{ML} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N (\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu}_{ML})(\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu}_{ML})^T
$$

这个公式可以直接用于实际计算。

高斯判别函数的目标函数

高斯判别函数的目标函数是通过对数极大似然估计来得到的。具体来说，对于给定的训练集，高斯判别函数的目标是最大化样本发生的概率，即对数似然函数。该函数的表达式为：
$$L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}logP(x^{(i)},y^{(i)};\theta)$$
其中，$m$是训练集的大小，$x^{(i)}$和$y^{(i)}$分别是第$i$个样本的特征和标签，$\theta$是高斯判别函数的参数。在实际应用中，通常假设样本的特征服从高斯分布，因此可以将$P(x^{(i)},y^{(i)};\theta)$表示为：
$$P(x^{(i)},y^{(i)};\theta)=P(x^{(i)}|y^{(i)};\theta)P(y^{(i)};\theta)$$
其中，$P(x^{(i)}|y^{(i)};\theta)$是给定标签$y^{(i)}$时，样本特征$x^{(i)}$的条件概率密度函数，$P(y^{(i)};\theta)$是标签$y^{(i)}$的先验概率。将上式代入对数似然函数中，得到：
$$L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}logP(x^{(i)}|y^{(i)};\theta)+\sum_{i=1}^{m}logP(y^{(i)};\theta)$$
其中，第一项是样本特征的条件概率密度函数的对数，第二项是标签的先验概率的对数。对于高斯判别函数，假设样本特征在给定标签的条件下服从多元高斯分布，因此可以将第一项表示为：
$$logP(x^{(i)}|y^{(i)};\theta)=-\frac{1}{2}(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})^T\Sigma_{y^{(i)}}^{-1}(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})-\frac{1}{2}log|\Sigma_{y^{(i)}}|-\frac{n}{2}log(2\pi)$$
其中，$\mu_{y^{(i)}}$和$\Sigma_{y^{(i)}}$分别是标签为$y^{(i)}$的样本特征的均值向量和协方差矩阵，$n$是样本特征的维度。将上式代入对数似然函数中，得到高斯判别函数的目标函数：
$$L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}-\frac{1}{2}(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})^T\Sigma_{y^{(i)}}^{-1}(x^{(i)}-\mu_{y^{(i)}})-\frac{1}{2}log|\Sigma_{y^{(i)}}|-\frac{n}{2}log(2\pi)+\sum_{i=1}^{m}logP(y^{(i)};\theta)$$