为什么说二阶常系数齐次线性微分方程的解符合叠加原理
时间: 2023-10-27 11:42:09 浏览: 77
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为:
$$
y''+ay'+by=0
$$
其中 $a$ 和 $b$ 是常数。根据叠加原理,如果 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 都是该方程的解,那么 $y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)$ 也是该方程的解,其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。
现在我们来验证一下:
$$
\begin{aligned}
y''+ay'+by&=(c_1y_1(t)+c_2y_2(t))''+a(c_1y_1(t)+c_2y_2(t))'+b(c_1y_1(t)+c_2y_2(t))\\
&=(c_1y_1''(t)+c_2y_2''(t))+a(c_1y_1'(t)+c_2y_2'(t))+b(c_1y_1(t)+c_2y_2(t))\\
&=c_1(y_1''+ay_1'+by_1)+c_2(y_2''+ay_2'+by_2)\\
&=c_1\cdot0+c_2\cdot0\\
&=0
\end{aligned}
$$
因此,$y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)$ 是该方程的解,证明了二阶常系数齐次线性微分方程的解符合叠加原理。
相关问题
齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的区别
齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的区别在于它们右侧的项。齐次线性微分方程的右侧项为零,即形式为$y''+a_1y'+a_2y=0$,而非齐次线性微分方程的右侧项不为零,即形式为$y''+a_1y'+a_2y=f(x)$。
因此,齐次线性微分方程的解只包括齐次通解,而非齐次线性微分方程的解包括齐次通解和特解。齐次通解是对应齐次线性微分方程的通解,它可以通过求解特征方程得到。而特解是对应非齐次线性微分方程的一个特解,它可以通过待定系数法、常数变易法等方法得到。
另外,齐次线性微分方程的解的线性组合也是它的解,即如果$y_1(x)$和$y_2(x)$都是齐次线性微分方程的解,那么$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$也是它的解。这一性质称为叠加原理。而非齐次线性微分方程的解没有这个性质。
已知y1=3,y2=3+x^2,y3=3+e^x是某二阶线性齐次方程的三个特解,求该微分方程的通解。这里y3-y1和y2-y1为什么是齐次方程的线性无关特解,而不是齐次方程的通解,不是说任意两个非齐次方程的特解之差为齐次方程的通解吗?
对于任意两个非齐次方程的特解之差,它们确实是对应齐次方程的解,但它们不一定是齐次方程的通解。这是因为齐次方程的通解是由两个线性无关的解线性组合而成,而非齐次方程的两个特解之差不一定是线性无关的,因此它们不一定能表示齐次方程的通解。
在这个问题中,我们已知了三个特解y1=3, y2=3+x^2, y3=3+e^x,它们都是二阶线性齐次方程的解。我们可以发现y3-y1= e^x 和y2-y1= x^2 都是齐次方程的解,因为它们是两个特解之差,满足了对应齐次方程的性质。而且,我们可以证明它们是线性无关的,因为它们的形式不同。所以,我们可以用y3-y1和y2-y1来表示齐次方程的两个线性无关特解,然后利用二阶线性齐次方程的解的线性叠加原理,得到该微分方程的通解。
因此,对于这个问题,我们可以先求出齐次方程的两个线性无关特解,比如y1=1和y2=x,然后用y3-y1和y2-y1来表示该齐次方程的另外两个线性无关特解,即y4=y3-y1=e^x-3和y5=y2-y1=x^2。最后,我们就可以得到该微分方程的通解为y=c1+y1+c2*y2+c3*y4+c4*y5,其中c1、c2、c3、c4为任意常数。