5. 求微分方程 y y x 2 1满足初始条件 y(0) 0, y(0) 1 的特解。
时间: 2023-11-29 19:05:19 浏览: 39
我们可以使用常系数线性齐次微分方程的解法来求解此微分方程的特解。首先,我们需要求出齐次微分方程 y'' - y' = 0 的通解。
特征方程为 r^2 - r = 0,解得 r1=0,r2=1。因此,齐次方程的通解为 y = c1 + c2*e^x,其中 c1、c2 为常数。
接下来,我们需要求出非齐次方程 y'' - y' = x^2+1 的一个特解。根据常数变易法,我们可以猜测一个特解形如 yp = Ax^2 + Bx + C。
将特解代入原方程,得到:
2A - 2Ax - B = x^2 + 1
比较系数,得到:
A = -1/2, B = 0, C = 3/2
因此,非齐次方程的一个特解为 yp = -1/2*x^2 + 3/2。
根据线性微分方程的叠加原理,原方程的通解为 y = c1 + c2*e^x - 1/2*x^2 + 3/2。
利用初始条件 y(0) = 0,y'(0) = 1,可以得到:
c1 + c2 + 3/2 = 0
c2 - 1 = 0
解得 c1 = -5/2,c2 = 1。
因此,满足初始条件的特解为 y = -5/2 + e^x - 1/2*x^2 + 3/2。
相关问题
求微分方程y=e2x-y当y(0)=0是的特解
首先对微分方程进行初步分析:
y' = 2e^(2x) - y (将y移到等号左边)
y' + y = 2e^(2x) (将y移到等号右边)
这是一个一阶线性非齐次微分方程,可以使用常微分方程的解法来解决。
首先求解对应的齐次微分方程:
y' + y = 0
其通解为 y = Ce^(-x) (C为常数)
然后根据非齐次方程的特殊形式,猜测其特解为 y = A*e^(2x) (A为待定系数)
将特解代入原方程得:
y' + y = 2e^(2x)
2A*e^(2x) + A*e^(2x) = 2e^(2x)
3A = 2
A = 2/3
特解为 y = (2/3)*e^(2x)
最终通解为 y = Ce^(-x) + (2/3)*e^(2x)
由于要求特解满足y(0)=0,代入得:
0 = C + (2/3)
C = -(2/3)
特解为 y = (2/3)*e^(2x) - (2/3)
(注:求解非齐次线性微分方程的特解时,可以使用常数变易法或超前截取法,本题使用的是常数变易法)
求微分方程y''-y'+e^x=0
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,可以使用特征方程和待定系数法求解。
首先求其对应的齐次方程y''-y'=0的特征方程:
r^2 - r = 0
解得r1=0, r2=1
因此齐次方程的通解为y=c1 + c2*e^x。
然后考虑非齐次方程中的e^x,因为e^x是指数函数,所以我们猜测非齐次方程的特解为y*=A*e^x,其中A为待定常数。
将特解带入非齐次方程,得到:
A*e^x - A*e^x + e^x = 0
解得A=1。
因此非齐次方程的特解为y*=e^x。
最终的通解为y=c1 + c2*e^x + e^x。
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