1. 求微分方程 y′′−3y′+ y =x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。

首先，我们可以先求出对应的齐次微分方程的通解，然后再利用常数变易法求出非齐次微分方程的通解和特解。

对于齐次微分方程 y′′−3y′+y=0，它的特征方程为 r^2-3r+1=0，解得 r1=(3+sqrt(5))/2，r2=(3-sqrt(5))/2。因此，齐次微分方程的通解为 yh=c1*exp(r1*x)+c2*exp(r2*x)。

接下来，我们需要求出非齐次微分方程的特解。因为 x 是一个一次函数，所以我们可以猜测特解的形式为 yp=A*x+B。将这个特解代入原方程，得到 A=2，B=-1。

因此，非齐次微分方程的通解为 y=c1*exp(r1*x)+c2*exp(r2*x)+2*x-1。

根据题意，我们可以得到两个初值条件，y(0)=1和y(1)=3。将这两个条件带入通解中，解得 c1=(3-exp(sqrt(5)))/2，c2=(exp(sqrt(5))-1)/2。

因此，所求的特解为 y=(3-exp(sqrt(5)))/2*exp((3+sqrt(5))/2*x)+(exp(sqrt(5))-1)/2*exp((3-sqrt(5))/2*x)+2*x-1。

相关问题

MATLAB1. 求微分方程 y′′−3y′+ y =x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。

根据微分方程 y′′-3y′+y=x 可以写出特征方程：

r^2 - 3r + 1 = 0

解这个方程可以得到两个根：

r1 = (3 + sqrt(5))/2
r2 = (3 - sqrt(5))/2

因此通解可以表示为：

y = c1 * exp(r1 * t) + c2 * exp(r2 * t) + x

其中c1和c2是待定系数，需要通过边界条件来确定。根据题目给出的边界条件，y(0) = 1和y'(0) = 3，可以得到：

c1 + c2 + x = 1
c1 * r1 + c2 * r2 = 3

解这个方程组可以得到：

c1 = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))
c2 = (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2))/(2 * sqrt(5))

因此特解可以表示为：

y = (3 - x + (2 - 3x + x^2) * exp(-t * (3 - sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 + sqrt(5))/2 * t)
+ (x - 3 - (2 + 3x + x^2) * exp(-t * (3 + sqrt(5))/2)) / (2 * sqrt(5)) * exp((3 - sqrt(5))/2 * t)
+ x

其中x是微分方程右侧的常数项。

用MATLAB求微分方程 y′′−3y′+ y=x 的通解及当 y(0) =1, (1)y = 3时的特解。

可以使用MATLAB的dsolve函数求解微分方程的通解，代码如下：

syms y(t)
eqn = diff(y, t, 2) - 3*diff(y, t) + y == x;
ySol(t) = dsolve(eqn);

这里使用了符号计算工具箱中的符号变量y和符号函数t，以及dsolve函数求解微分方程的通解ySol。

接下来，可以代入边界条件y(0) = 1和y'(0) = 3，解出通解中的常数项，得到特解。代码如下：

xC = solve(subs(ySol, t, 0) == 1, subs(diff(ySol), t, 0) == 3, 'x');
ySol(t) = subs(ySol, x, xC);

这里使用了MATLAB的solve函数求解方程组，其中subs函数用于代入边界条件，将通解中的常数项表示为x。

最后，可以画出特解的图像。代码如下：

fplot(ySol, [0 10]);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of y'''' - 3y'' + y = x');

这里使用了MATLAB的fplot函数画出特解的图像。