用mathematicˇ (1)d2ydx2+8dydx=x−y, 并画出0≤x≤2时的函数图,分析初始值从0增长到2 y(0)=0,y′[0]=0 时的变化规律。
时间: 2024-03-22 08:37:43 浏览: 22
这是一个二阶常微分方程,可以使用求解常微分方程的方法来解决。首先,我们可以先求出它的特征方程:
r^2 + 8r = 0
解得 r1 = 0,r2 = -8。因此,它的通解为:
y(x) = c1 + c2 * e^(-8x)
接下来,我们需要找到一个特解,使得它满足原方程。可以猜测一个特解为 y = a * x + b,将它代入方程中:
d^2y/dx^2 + 8dy/dx = a - a * x - b + 8a
解得 a = -1/9,b = -1/8。所以,特解为:
y(x) = (-1/9) * x - (1/8)
因此,方程的通解为:
y(x) = c1 + c2 * e^(-8x) - (1/9) * x - (1/8)
根据初始值 y(0) = 0,y'(0) = 0,我们可以求出常数 c1 和 c2:
c1 = (1/8),c2 = -(1/8)
因此,方程的特解为:
y(x) = (1/8) * (1 - e^(-8x)) - (1/9) * x - (1/8)
接下来,我们可以用 Python 绘制出函数图像:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def y(x):
return (1/8) * (1 - np.exp(-8*x)) - (1/9) * x - (1/8)
x = np.linspace(0, 2, 100)
plt.plot(x, y(x))
plt.show()
```
从图像中可以看出,当 x 从 0 增长到 2 时,y 的变化规律是先快速增长,然后逐渐趋于平稳。
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