(c) y ′′ − y = e x cos(x)答案
时间: 2024-05-21 13:16:50 浏览: 18
首先,我们需要找到该非齐次线性微分方程的通解和特解。
对于齐次线性微分方程 y'' - y = 0,特征方程为 r^2 - 1 = 0,解得 r = ±1。因此,齐次线性微分方程的通解为 y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}。
接下来,我们需要找到非齐次线性微分方程 y'' - y = e^x cos(x) 的特解。由于右侧的非齐次项为 e^x cos(x),我们可以猜测特解形式为 y_p(x) = A e^x cos(x) + B e^x sin(x),其中 A 和 B 是待定系数。
将特解代入方程得:
y_p''(x) - y_p(x) = e^x cos(x)
(A cos(x) + B sin(x))e^x - (A e^x cos(x) + B e^x sin(x)) = e^x cos(x)
化简得:
A = 0, B = 1
因此,特解为 y_p(x) = e^x sin(x)。
最终,该非齐次线性微分方程的通解为:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + e^x sin(x)
相关问题
−∆u = (π 2 − 1)e x sin(πy),
这是一个偏微分方程,可以使用分离变量法求解。先假设解为 u(x,y) = X(x)Y(y),代入方程中得到:
-X''(x)Y(y) - X(x)Y''(y) = (π^2 - 1)e^xsin(πy)
将左边等式两边同时除以 X(x)Y(y) 得到:
-(1/X(x))X''(x) = (1/Y(y))Y''(y) + (π^2 - 1)e^xsin(πy)/X(x)Y(y)
由于左边只与 x 有关,右边只与 y 有关,所以两边必须等于一个常数 λ,即:
-(1/X(x))X''(x) = λ (1)
(1/Y(y))Y''(y) + (π^2 - 1)e^xsin(πy)/X(x)Y(y) = λ (2)
对于式 (1),解得 X(x) = c1e^(-sqrt(λ)x) + c2e^(sqrt(λ)x),其中 c1,c2 为常数。
对于式 (2),根据题目中的右边函数,我们猜测 λ = π^2,代入式中得到:
Y''(y) + πe^xsin(πy)/Y(y) = 0
这是一个常系数齐次线性微分方程,可以使用特征方程法求解。设解为 Y(y) = A sin(πy) + B cos(πy),代入方程中得到:
-πe^xsin(πy)A sin(πy) + πe^xsin(πy)B cos(πy) = 0
化简得到 B = 0,A 可以任意取值。
综上所述,原方程的通解为:
u(x,y) = (c1e^(-sqrt(π^2)x) + c2e^(sqrt(π^2)x))(A sin(πy)) = (c1e^(-πx) + c2e^(πx))Asin(πy),其中 c1,c2,A 为常数。
2. 令 y = y(x),求解带初值的微分方程: (1 − x)y ′′ = 1 5 √ 1 + y ′2, y(0) = 0, y ′ (0) = 0.
首先,将微分方程化为标准形式:
y′′ = (1/ (1-x)) * (1/5) * √(1+y′²)
设 u = y′,则原方程可化为:
u′ = (1/(1-x)) * (1/5) * √(1+u²)
将变量分离,得:
(1+u²)^(-1/2) du = (1/(5(1-x))) dx
对两边同时积分,得:
∫(1+u²)^(-1/2) du = (1/5) ∫(1-x)^(-1) dx
令 t = arctan(u),则有:
du = (1/(1+u²)) dt
代入上式得:
∫(1+u²)^(-1/2) du = ∫cos(t) dt = sin(t) + C1
其中 C1 为常数。
继续计算右边的积分:
∫(1-x)^(-1) dx = -ln(1-x) + C2
其中 C2 为常数。
将 C1 和 C2 代入原方程得:
sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x)) + C
其中 C = C1 + C2 是常数。
由题目可知,y(0) = 0,y′(0) = 0,代入上式得:
sin(arctan(0)) = (1/5)(-ln(1-0)) + C
C = 0
因此,原方程的通解为:
sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x))
化简得:
y′ = tan(sin((1/5)(-ln(1-x))))
再次积分得:
y = ∫tan(sin((1/5)(-ln(1-x)))) dx
但是,这个积分没有解析解,因此只能用数值方法求解。