用球坐标计算三重积分 ∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。
时间: 2024-03-31 13:35:27 浏览: 21
首先,由球坐标的转换公式可得,$x=r\sin\theta\cos\phi$,$y=r\sin\theta\sin\phi$,$z=r\cos\theta$。
则球 $x^2+y^2+z^2=1$ 对应的球坐标为 $0\leq r\leq 1$,$0\leq\theta\leq\pi$,$0\leq\phi\leq 2\pi$。
球 $x^2+y^2+z^2=9$ 对应的球坐标为 $1\leq r\leq 3$,$0\leq\theta\leq\pi$,$0\leq\phi\leq 2\pi$。
因此,原三重积分可表示为
$$
\begin{aligned}
&\iiint_Ee^{-(x^2+y^2+z^2)}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V\\
=&\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_1^3e^{-r^2}r^3\sin\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\\
=&2\pi\int_0^\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_1^3e^{-r^2}r^3\mathrm{d}r\\
=&\pi\bigg[-\frac{1}{2}e^{-r^2}(r^2+2)\bigg]_1^3\\
=&\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)
\end{aligned}
$$
因此,所求结果为 $\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)$。
相关问题
运用柱坐标系计算三重积分 ∫ ∫ ∫ E √ x 2 + y 2 d V ,其中 E 是由 圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定的区域
在柱坐标系下,被积函数为:
f(r,θ,z) = √(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) * r = r^2
积分区域 E 由圆形抛物面 z = 1 − 16 ( x 2 + y 2 ) 和 x y 平面界定,可以表示为:
0 ≤ z ≤ 1 − 16(r^2),0 ≤ r ≤ √(1/16-z),0 ≤ θ ≤ 2π
将 f(r,θ,z) 代入三重积分的公式,得到:
∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^2 * r drdθdz
对 r 进行积分,得到:
∫0^1-16∫0^2π∫0^√(1/16-z) r^3 drdθdz = ∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz
对 θ 和 z 进行积分,得到:
∫0^1-16∫0^2π [(1/4) * (1/16-z)^(3/2)] dθdz = (1/2) * π * ∫0^1-16 (1/4) * (1/16-z)^(3/2) dz
令 u = 1/16 - z,代入得:
(1/2) * π * ∫0^(1/16) (1/4) * u^(3/2) du = (1/10) * π * (1/16)^(5/2) = π/5120
因此,所求的三重积分的值为 π/5120。
∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。
将积分区域 E 转换为球坐标系下的积分区域,有:
1 ≤ r ≤ 3
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ φ ≤ π
因此,可以将原积分转化为:
∫_0^π ∫_0^(2π) ∫_1^3 e^(-r^2) r^2 sinφ dr dθ dφ
由于积分区域对 θ 和 φ 没有限制,因此可以将二重积分提到最外层,得到:
∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr ∫_0^π sinφ dφ ∫_0^(2π) dθ
对于 ∫_0^π sinφ dφ,有:
∫_0^π sinφ dφ = [-cosφ]_0^π = 2
对于 ∫_0^(2π) dθ,有:
∫_0^(2π) dθ = 2π
因此,可以将原积分化简为:
∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr * 2π * 2
通过变量代换 u = r^2,可以将原积分化为:
∫_1^9 e^(-u) du * π
解这个积分,有:
∫_1^9 e^(-u) du = [-e^(-u)]_1^9 = e^(-1) - e^(-9)
因此,最终的积分结果为:
π * (e^(-1) - e^(-9)) * 4
或者:
4π / (e - e^(-9))