用python程序求下面微分方程的解析解 𝑦″−2𝑦′+3𝑦=𝑥cos𝑥

这是一个齐次线性微分方程的非齐次线性微分方程的形式，我们可以先求它的齐次解，再利用常数变易法求得非齐次解。

先求齐次方程的特征方程：
$$r^2 - 2r + 3 = 0$$
解得特征根为 $r_1 = 1 + \sqrt{2}i$ 和 $r_2 = 1 - \sqrt{2}i$。

因为特征根是共轭复数对，所以通解为：
$$y_h(t) = e^{rt} (c_1 \cos{\sqrt{2}t} + c_2\sin{\sqrt{2}t})$$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待定常数。

接着，我们需要求非齐次方程的一个特解。我们猜测特解形式为：
$$y_p(t) = A\cos{t} + B\sin{t} + Ct\cos{t} + Dt\sin{t}$$
其中 $A,B,C$ 和 $D$ 是待定常数。

将 $y_p(t)$ 代入原方程得到：
$$(C - 2D + 1)\cos{t} + (D + 2C)\sin{t} = x\cos{x}$$
由于 $\cos{t}$ 和 $\sin{t}$ 是线性无关的，所以我们需要满足以下两个方程：
$$C - 2D + 1 = 0$$
$$D + 2C = x$$
解得 $C = \frac{x}{5}$，$D = \frac{1-x}{5}$。

因此，非齐次方程的一个特解为：
$$y_p(t) = \frac{x}{5}t\cos{t} + \frac{1-x}{5}t\sin{t} + \frac{x}{5}\cos{t} + \frac{1-x}{5}\sin{t}$$

于是，原方程的通解为：
$$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$$
$$y(t) = e^t(c_1\cos{\sqrt{2}t} + c_2\sin{\sqrt{2}t}) + \frac{x}{5}t\cos{t} + \frac{1-x}{5}t\sin{t} + \frac{x}{5}\cos{t} + \frac{1-x}{5}\sin{t}$$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是待定常数。