用parareal算法求解常微分方程的python代码

以下是一个使用parareal算法求解常微分方程的Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(u):
    return np.cos(u)

def F(u0, t0, tf, N, M, tol):
    h = (tf - t0) / N
    t = np.linspace(t0, tf, N+1)
    u = np.zeros(N+1)
    u[0] = u0
    
    for n in range(N):
        u[n+1] = u[n] + h*f(u[n])
    
    u_fine = np.copy(u)
    h_fine = h/N
    t_fine = np.linspace(t0, tf, N*M+1)
    
    for i in range(M):
        u_coarse = np.copy(u[i*N:(i+1)*N+1])
        u_fine[i*N*M:(i+1)*N*M+1] = parareal(u_coarse, t[i*N], t[(i+1)*N], M, tol)
    
    return t_fine, u_fine

def parareal(u0, t0, tf, M, tol):
    h = (tf - t0) / M
    u = np.zeros(M+1)
    u[0] = u0
    
    for j in range(M):
        u_coarse = u[j]
        u_fine = u[j] + h*f(u[j])
        
        for k in range(1, M+1):
            u_fine = u_coarse + h*f(u_fine)
            u_coarse = u[k-1] + h*f(u_coarse)
            
            err = np.abs(u_fine - u_coarse)
            
            if np.max(err) < tol:
                break
        
        u[j+1] = u_fine
    
    return u

# 测试代码
t, u = F(u0=0.5, t0=0, tf=10, N=100, M=10, tol=1e-6)
plt.plot(t, u)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('u')
plt.show()

该代码实现了一个函数F，它使用parareal算法求解常微分方程。参数u0是初始值，t0和tf是时间间隔，N是粗网格点数，M是每个粗网格之间的细网格数，tol是容忍误差。函数parareal实现了parareal算法的核心部分，它对每个粗网格应用一次迭代来计算细网格上的解，并在达到容忍误差时退出迭代。最后，函数F将每个粗网格和细网格的解组合起来，并返回完整的时间和解数组。

在测试代码中，我们使用初始值u0 = 0.5，在时间间隔[0,10]上求解常微分方程。我们使用100个粗网格和10个细网格来进行计算，并设置容忍误差为1e-6。最后，我们将结果绘制成图形。