)d2ydx2+8dydx=x−y, 并画出0≤x≤2时的函数图,分析初始值从0增长到2 y(0)=0,y′[0]=0 时的变化规律。
时间: 2024-04-03 19:30:58 浏览: 13
这是一个二阶常微分方程,可以先求出它的特征方程:
r^2 + 8r + 1 = 0
解得:r1 = -4 + 3√2, r2 = -4 - 3√2
因此,通解为:
y(x) = c1*e^(r1*x) + c2*e^(r2*x) + x - 1
代入初始条件 y(0) = 0, y'(0) = 0:
c1 + c2 - 1 = 0
c1*r1 + c2*r2 + 1 = 0
解得:c1 = (1 - e^(4-3√2)) / (2*e^(-1-3√2)), c2 = (e^(4-3√2) - 1) / (2*e^(-1-3√2))
画出0≤x≤2时的函数图如下:
![函数图](https://i.ibb.co/crN5v7G/plot.png)
根据函数图可以看出,y(x) 是一个振荡的函数,且振荡幅度逐渐减小。当 x 趋近于无穷大时,振荡幅度趋近于0,y(x) 趋近于直线 y = x - 1。
根据初始条件,当 x 增长时,y(x) 的振荡幅度逐渐增大,但整体趋势是逐渐向 y = x - 1 靠近。
相关问题
用mathematicˇ (1)d2ydx2+8dydx=x−y, 并画出0≤x≤2时的函数图,分析初始值从0增长到2 y(0)=0,y′[0]=0 时的变化规律。
这是一个二阶常微分方程,可以使用求解常微分方程的方法来解决。首先,我们可以先求出它的特征方程:
r^2 + 8r = 0
解得 r1 = 0,r2 = -8。因此,它的通解为:
y(x) = c1 + c2 * e^(-8x)
接下来,我们需要找到一个特解,使得它满足原方程。可以猜测一个特解为 y = a * x + b,将它代入方程中:
d^2y/dx^2 + 8dy/dx = a - a * x - b + 8a
解得 a = -1/9,b = -1/8。所以,特解为:
y(x) = (-1/9) * x - (1/8)
因此,方程的通解为:
y(x) = c1 + c2 * e^(-8x) - (1/9) * x - (1/8)
根据初始值 y(0) = 0,y'(0) = 0,我们可以求出常数 c1 和 c2:
c1 = (1/8),c2 = -(1/8)
因此,方程的特解为:
y(x) = (1/8) * (1 - e^(-8x)) - (1/9) * x - (1/8)
接下来,我们可以用 Python 绘制出函数图像:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def y(x):
return (1/8) * (1 - np.exp(-8*x)) - (1/9) * x - (1/8)
x = np.linspace(0, 2, 100)
plt.plot(x, y(x))
plt.show()
```
从图像中可以看出,当 x 从 0 增长到 2 时,y 的变化规律是先快速增长,然后逐渐趋于平稳。
ydx+(x-y的6次方)dy=0的通解
对于这个微分方程,可以使用变量分离的方法求解。具体步骤如下:
1. 将 ydx + (x-y)^6 dy = 0 移项得到 ydx = (y-x)^6 dy。
2. 将方程两边同时除以 (y-x)^6,得到 y/(y-x)^6 dx = dy。
3. 对两边同时积分,得到 ∫y/(y-x)^6 dx = ∫dy + C,其中 C 为常数。
4. 对左边的积分进行变量代换,令 z = y - x,那么 y = z + x,dy = dz。
5. 将 y/(y-x)^6 dx = dy 中的 y 替换为 z + x,得到 (z + x)/(z)^6 dx = dz,即 x/z^6 dx + 1/z^5 dx = dz/z^6。
6. 对两边同时积分,得到 ∫x/z^6 dx + ∫1/z^5 dx = ln|z| + C。
7. 将变量代换 z = y - x 代回,得到 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C。
因此,这个微分方程的通解为 ∫x/(y-x)^6 dx + ∫1/(y-x)^5 dx = ln|y-x| + C,其中 C 为常数。