计算曲线积分∫ (xdy+ydx)/(x^2+y^2),其中曲线为{（x,y）|x^2-2x+y^2-2y+1=0}

首先计算曲线的参数表示：
设$x=f(t),y=g(t)$，则曲线方程转化为$f(t)^2-2f(t)g(t)^2-2g(t)+1=0$，整理得：$f(t)^2-2g(t)^2f(t)-2g(t)+1=0$。
解出$f(t)$，有$f(t)=\frac{2g(t)^2\pm\sqrt{8g(t)^2+4}}{2}=-g(t)^2\pm\sqrt{2g(t)^2+1}$。
由于曲线上下半部分对称，我们只考虑上半部分的情况，此时$f(t)=-g(t)^2+\sqrt{2g(t)^2+1}$。
代入积分式，得到积分为：
$$\int_C \frac{xdy-ydx}{x^2y^2}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{f(t)g'(t)-g(t)f'(t)}{f(t)^2g(t)^2}dt$$
其中$t_1,t_2$是上半部分曲线的参数区间端点。代入参数表示，有：
$$\int_C \frac{xdy-ydx}{x^2y^2}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{(-g(t)^2+\sqrt{2g(t)^2+1})g'(t)-g(t)(-2g(t)g'(t)+\frac{2g(t)}{\sqrt{2g(t)^2+1}})}{(-g(t)^2+\sqrt{2g(t)^2+1})^2g(t)^2}dt$$
简化得：
$$\int_C \frac{xdy-ydx}{x^2y^2}=\int_{t_1}^{t_2}\frac{-2g(t)g'(t)+\frac{2}{\sqrt{2g(t)^2+1}}}{(g(t)^2-\sqrt{2g(t)^2+1})^2}dt$$
然后我们考虑将积分化为以下形式：
$$\int_{\gamma_1}\frac{-2y}{x^2y^2-\sqrt{2x^2y^2+x^2}}dx+\int_{\gamma_2}\frac{2}{x\sqrt{2x^2y^2+x^2}}dy$$
其中$\gamma_1$为上半部分曲线$x<0$的部分，$\gamma_2$为以原点为圆心，半径为1的圆周上去掉射线$x<0$和$x=y+1$后的部分。这两条路径构成了曲线的完整路径闭合子集，而且$\gamma_1$和$\gamma_2$都比较容易积分。
具体来说，我们先考虑$\gamma_1$，对于任意一条$x<0$的曲线，有$y=\frac{1-x^2}{2x}$，于是：
$$\int_{\gamma_1}\frac{-2y}{x^2y^2-\sqrt{2x^2y^2+x^2}}dx=\int_{-\infty}^0\frac{(1-x^2)\sqrt{2-x^2}}{(1-x^2)^4+4(1-x^2)(2-x^2)}dx$$
做变量代换$t=\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$，得：
$$\int_{\gamma_1}\frac{-2y}{x^2y^2-\sqrt{2x^2y^2+x^2}}dx=-\int_{-\sqrt{2}}^0\frac{dt}{t^2+2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}\Biggr|_{-\infty}^0=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$$
然后考虑$\gamma_2$，对于任意一条$x=y+1$的曲线，有：
$$\frac{xdy-ydx}{x^2y^2}=\frac{(y+1)dy-ydx}{(y+1)^2y^2}=\frac{dt}{t^2}$$
其中$t=\frac{1}{y+1}$为参数。因此，$\gamma_2$的积分为：
$$\int_{\gamma_2}\frac{xdy-ydx}{x^2y^2}=\int_{S^1\cap\{z:\mathrm{Re}(z)>0\}}\frac{dz}{z^2}=-2\pi i$$
综上，原积分结果为$\pi/(4\sqrt{2})+2\pi i$。